如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB是⊙O的直徑,點D在AB的延長線上,AC=CD,BD=
(1)當∠A為何值時,CD是⊙O的切線?請說明理由;
(2)在(1)的情況下,求圖中陰影部分的面積(結果用含根號、π的式子表示).

【答案】分析:(1)連接OC,可用不同的方法證明,根據OA=OC,則∠A=∠C=30°,可求出∠OCD=90°,即CD是⊙O的切線;
(2)可證明△BOC是等邊三角形,則∠OCB=60°,可得出∠BCD=∠D,由三角函數(shù)CD=OC•tan60°,得出CD的長,因為S陰影=S△OCD-S扇形BOC,所以可得出答案.
解答:解:(1)當∠A=30°時,CD是⊙O的切線.(1分)
理由:連接OC,如圖.
方法一:∵OA=OC,∴∠A=∠C=30°
∴∠COD=∠A+∠OCA=60°(2分)
又∵AC=CD,∴∠D=∠A=30°(3分)
∴∠OCD=180°-∠COD-∠D=90°
所以CD是⊙O的切線(4分)
方法二:∵CD是⊙O的切線
∴∠OCD=90°(2分)
∵AC=CD,∴∠D=∠A=30°(3分)
又∵OA=OC,∴∠COD=2∠A=2∠D
∴∠A=30°(4分)

(2)∵OB=OC,∠COD=60°,
∴△BOC是等邊三角形,∴∠OCB=60°
∴∠BCD=∠OCD-∠OCB=90°-60°(5分)
∴∠BCD=∠D
∴OC=BC=BD=(6分).
CD=OC•tan60°=×=3.(7分)
∴S陰影=S△OCD-S扇形BOC=××3-=-.(8分)
點評:本題考查了切線的判定和性質、扇形面積的計算以及解直角三角形的內容,比較簡單要熟練掌握.
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