Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝經(jīng)過點(diǎn)A（4m，4），與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C．

⑴ 求直線l的解析式及拋物線的解析式；

⑵ 如圖2，點(diǎn)D是直線l在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線EF∥y軸，交拋物線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，連接AF，若∠CEF＝∠CBA，求AF的長；

⑶ 在（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)P是直線EF上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線l上一點(diǎn)．當(dāng)△PFA與△QPA全等時(shí)，直接寫出點(diǎn)P和相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) ;(2)5;(3)見解析.

【解析】分析：(1)把點(diǎn)A代入直線l解析式中，求出m，進(jìn)而求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再代入拋物線解析式中，即可得出結(jié)論;(2)先判斷出四邊形CBDE是平行四邊形，然后求出a,再得出點(diǎn)F坐標(biāo)，最后由勾股定理得出結(jié)論；(3)分兩種情況，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，建立方程求解，然后求出結(jié)論.

詳解：⑴由直線l：y=經(jīng)過點(diǎn)A（4m，4）

得：，解得：m=1

∴ 直線l的解析式為：y=

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4）

∵ 拋物線經(jīng)過點(diǎn)A

∴ 解得：b=1

∴ 拋物線的解析式為：

⑵如圖1，過點(diǎn)A作AG⊥x軸，垂足為點(diǎn)G.

由點(diǎn)D是直線y=上的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4a，3a＋1）

∵ EF∥y軸

∴ 點(diǎn)E、F的橫坐標(biāo)為4a，∠CEF＋∠ECB=180°

∵ ∠CBA=∠CEF ∴ ∠CBA＋∠ECB=180°

∴ CE∥BD

∴ 四邊形CBDE是平行四邊形

∴ ED=BC

由BC=得：ED=3

將x=4a代入得：

∴

解得： ,

∴ 點(diǎn)F（1，0）

∴ GF=4－1=3

△AFG中，∠AGF=90°，AG=4

∴ .

圖1

⑶ 如圖2，當(dāng)點(diǎn)P（1，7）時(shí)，點(diǎn)Q（8，7）；

如圖3，當(dāng)點(diǎn)P（1，1）時(shí)，點(diǎn)Q（0，1）；

如圖4，當(dāng)點(diǎn)P（1，）時(shí)，點(diǎn)Q（，）；

圖2 圖3 圖4