Question

（2013•龍巖）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點O，且AC=80，BD=60．動點M、N分別以每秒1個單位的速度從點A、D同時出發(fā)，分別沿A→O→D和D→A運動，當(dāng)點N到達點A時，M、N同時停止運動．設(shè)運動時間為t秒．
（1）求菱形ABCD的周長；
（2）記△DMN的面積為S，求S關(guān)于t的解析式，并求S的最大值；
（3）當(dāng)t=30秒時，在線段OD的垂直平分線上是否存在點P，使得∠DPO=∠DON？若存在，這樣的點P有幾個？并求出點P到線段OD的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理及菱形的性質(zhì)，求出菱形的周長；
（2）在動點M、N運動過程中：①當(dāng)0＜t≤40時，如答圖1所示，②當(dāng)40＜t≤50時，如答圖2所示．分別求出S的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；
（3）如答圖3所示，在Rt△PKD中，DK長可求出，則只有求出tan∠DPK即可．為此，在△ODM中，作輔助線，構(gòu)造Rt△OND，作∠NOD平分線OG，則∠GOF=∠DPK．在Rt△OGF中，求出tan∠GOF的值，從而問題解決．解答中提供另外一種解法，請參考．

解答：解：（1）在菱形ABCD中，
∵AC⊥BD
∴AD=

302+402

=50．
∴菱形ABCD的周長為200．

（2）過點M作MP⊥AD，垂足為點P．
①當(dāng)0＜t≤40時，如答圖1，
∵sin∠OAD=

MP

AM

=

OD

AD

=

3

5

，
∴MP=AM•sin∠OAD=

3

5

t．
S=

1

2

DN•MP=

1

2

×t×

3

5

t=

3

10

t²；

②當(dāng)40＜t≤50時，如答圖2，MD=70-t，
∵sin∠ADO=

MP

MD

=

AO

AD

=

4

5

，∴MP=

4

5

（70-t）．
∴S_△DMN=

1

2

DN•MP=

1

2

×t×

4

5

（70-t）=-

2

5

t²+28t=-

2

5

（t-35）²+490．
∴S=

3 10 t2(0＜t≤40) - 2 5 (t-35)2+490(40＜t≤50)

當(dāng)0＜t≤40時，S隨t的增大而增大，當(dāng)t=40時，最大值為480．
當(dāng)40＜t≤50時，S隨t的增大而減小，當(dāng)t=40時，最大值為480．
綜上所述，S的最大值為480．

（3）存在2個點P，使得∠DPO=∠DON．
方法一：如答圖3所示，過點N作NF⊥OD于點F，
則NF=ND•sin∠ODA=30×

40

50

=24，DF=ND•cos∠ODA=30×

30

50

=18．
∴OF=12，∴tan∠NOD=

NF

OF

=

24

12

=2．
作∠NOD的平分線交NF于點G，過點G作GH⊥ON于點H，則FG=GH．
∴S_△ONF=

1

2

OF•NF=S_△OGF+S_△OGN=

1

2

OF•FG+

1

2

ON•GH=

1

2

（OF+ON）•FG．
∴FG=

OF•NF

OF+ON

=

12×24

12+12 5

=

24

1+ 5

，
∴tan∠GOF=

GF

OF

=

24 1+ 5

12

=

2

1+ 5

．
設(shè)OD中垂線與OD的交點為K，由對稱性可知：∠DPK=

1

2

∠DPO=

1

2

∠DON=∠FOG
∴tan∠DPK=

DK

PK

=

15

PK

=

2

1+ 5

，
∴PK=

15( 5 +1)

2

．
根據(jù)菱形的對稱性可知，在線段OD的下方存在與點P關(guān)于OD軸對稱的點P′．
∴存在兩個點P到OD的距離都是

15( 5 +1)

2

．

方法二：答圖4所示，作ON的垂直平分線，交OD的垂直平分線EF于點I，連結(jié)OI，IN．
過點N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分別為G，H．
當(dāng)t=30時，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，
∴

DN

DA

=

NG

AO

=

DG

OD

，即

30

50

=

NG

40

=

DG

30

．
∴NG=24，DG=18．
∵EF垂直平分OD，
∴OE=ED=15，EG=NH=3．
設(shè)OI=R，EI=x，則
在Rt△OEI中，有R²=15²+x²        ①
在Rt△NIH中，有R²=3²+（24-x）²     ②
由①、②可得：

x= 15 2 R= 15 5 2

∴PE=PI+IE=

15+15 5

2

．
根據(jù)對稱性可得，在BD下方還存在一個點P′也滿足條件．
∴存在兩個點P，到OD的距離都是

15+15 5

2

．
（注：只求出一個點P并計算正確的扣（1分）．）

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形、等腰三角形、中垂線、勾股定理、解直角三角形、二次函數(shù)極值等知識點，涉及考點較多，有一定的難度．第（2）問中，動點M在線段AO和OD上運動時，是兩種不同的情形，需要分類討論；第（3）問中，滿足條件的點有2個，注意不要漏解．