Question

如圖，把一張長(zhǎng)10 cm，寬8 cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，再折合成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子(紙板的厚度忽略不計(jì))．

(1)要使長(zhǎng)方體盒子的底面積為48 cm²，那么剪去的正方形的邊長(zhǎng)為多少？

(2)你感到折合而成的長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積會(huì)不會(huì)有最大的情況？如果有，請(qǐng)求出最大值和此時(shí)剪去的正方形的邊長(zhǎng)；如果沒有，請(qǐng)說明理由．

(3)如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個(gè)同樣大小的正方形和2個(gè)同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子，是否有側(cè)面積最大的情況；如果有，請(qǐng)你求出最大值和此時(shí)剪去的正方形的邊長(zhǎng)；如果沒有，請(qǐng)你說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)小題利用正方形的面積公式，列一元二次方程求解；(2)小題均是利用二次函數(shù)的性質(zhì)求幾何圖形的最大面積． 　　解：(1)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x cm，則(10－2x)·(8－2x)＝48，即x2－9x＋8＝0． 　　解得x1＝8(不合題意，舍去)，x2＝1．所以剪去的正方形的邊長(zhǎng)為1 cm． 　　(2)有側(cè)面積最大的情況． 　　設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x cm，盒子的側(cè)面積為y cm2，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2(10－2x)x＋2(8－2x)x． 　　整理，得y＝－8x2＋36x，即y＝－8(x－)2＋． 　　所以當(dāng)x＝2.25時(shí)，y最大＝40.5， 　　即當(dāng)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為2.25 cm時(shí)，長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積最大，為40.5 cm2． 　　(3)有側(cè)面積最大的情況． 　　設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x cm，盒子的側(cè)面積為y cm2． 　　若按下圖所示的方法剪折，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2(8－2x)x＋2×x， 　　即y＝－6(x－)2＋． 　　當(dāng)x＝時(shí)，y最大＝． 　　若按下圖所示的方法剪折，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2(10－2x)x＋2×x，即y＝－6·(x－)2＋． 　　當(dāng)x＝時(shí)，y最大＝． 　　比較以上兩種剪折方法可以看出，按下圖所示的方法剪折得到的盒子側(cè)面積最大，即當(dāng)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為cm時(shí)，折成的有蓋長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積最大，最大面積為cm2． 　　點(diǎn)評(píng)：求二次函數(shù)的最值通常是看它的頂點(diǎn)坐標(biāo)，因此，同學(xué)們要熟練掌握將一個(gè)二次函數(shù)一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式這一重要的技能．另外，本題第(3)小題通過計(jì)算兩種剪法所得側(cè)面積的大小，加以比較后作出結(jié)論．