Question

已知反比例函數(shù)y=

k

2x

和一次函數(shù)y=2x-1，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（a，b）、（a+1，b+k）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若兩個(gè)函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A（1，m），請(qǐng)問：在x軸上是否存在點(diǎn)B，使△AOB為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）若直線y=-x+

1

2

交x軸于C，交y軸于D，點(diǎn)P為反比例函數(shù)y=

k

2x

（x＞0）的圖象上一點(diǎn)，過P作y軸的平行線交直線CD于E，過P作x軸的平行線交直線CD于F，求證：DE•CF為定值．

Answer 1

分析：（1）把（a，b）、（a+1，b+k）分別代入y=2x-1，轉(zhuǎn)化為關(guān)于未知系數(shù)的方程組解答；
（2）求出A點(diǎn)坐標(biāo)，即可根據(jù)圖形特征找到B點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）作FM⊥x軸于M，EN⊥y軸于N，構(gòu)造等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，將DE•CF轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)系數(shù)的倍數(shù)解答．

解答：解：（1）∵y=2x-1的圖象經(jīng)過（a，b）、（a+1，b+k）兩點(diǎn)，
∴

2a-1=b 2(a+1)-1=b+k

，
∴k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

1

x

；

（2）∵A（1，m）在反比例函數(shù)y=

1

x

上，
∴A（1，1），
若∠ABO=90°，則B（1，0）；
若∠OAB=90°，則B（2，0）．
∴在x軸上存在點(diǎn)B，使△AOB為直角三角形，且滿足條件的點(diǎn)B有兩個(gè)，
即：B₁（1，0），B₂（2，0）；

（3）設(shè)P（x，y），
∵直線y=-x+

1

2

交x軸于C，交y軸于D，
∴C（0.5，0），D（0，0.5），
∴△OCD為等腰直角三角形．
作FM⊥x軸于M，EN⊥y軸于N，
則△FMC、△DEN為等腰直角三角形，
∴FC=

2

FM=

2

y，DE=

2

EN=

2

x，
∴DE•CF=2xy，
∵P（x，y）在y=

1

x

上，
∴xy=1，
∴DE•CF=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求解析式和函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)與函數(shù)解析式組成的方程組的解的關(guān)系，構(gòu)造等腰直角三角形也是解答此題的關(guān)鍵．