Question

如圖，已知直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)（與A點(diǎn)不重合）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求△ABC的面積；

（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，

∴可得A（1，0），B（0，﹣3），

把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=x²+bx+c得：，解得：。

∴拋物線解析式為：y=x²+2x﹣3。

（2）令y=0得：0=x²+2x﹣3，解得：x₁=1，x₂=﹣3。

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣3，0），AC=4，

∴S_△ABC=AC×OB=×4×3=6。

（3）存在。

 易得拋物線的對稱軸為：x=﹣1，假設(shè)存在M（﹣1，m）滿足題意，

 根據(jù)勾股定理，得。

分三種情況討論：

①當(dāng)AM=AB時(shí)，，解得：。

∴M₁（﹣1，），M₂（﹣1，）。

②當(dāng)BM=AB時(shí)，，解得：M₃=0，M₄=﹣6。

∴M₃（﹣1，0），M₄（﹣1，﹣6）。

③當(dāng)AM=BM時(shí)，，解得：m=﹣1。

∴M₅（﹣1，﹣1）。

綜上所述，共存在五個(gè)點(diǎn)使△ABM為等腰三角形，坐標(biāo)為M₁（﹣1，），M₂（﹣1，），M₃（﹣1，0），M₄（﹣1，﹣6），M₅（﹣1，﹣1）。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，可得出b、c的值，求出拋物線解析式。

（2）由（1）求得的拋物線解析式，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而求出AC的長度，代入三角形的面積公式即可計(jì)算。

（3）根據(jù)點(diǎn)M在拋物線對稱軸上，可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，m），分三種情況討論，①AM=AB，②BM=AB，③AM=BM，求出m的值后即可得出答案。