Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，∠CDB=15°，OE=2．

（1）求⊙O的半徑；

（2）將△OBD繞O點旋轉(zhuǎn)，使弦BD的一個端點與弦AC的一個端點重合，則弦BD與弦AC的夾角為　 　．

Answer 1

【答案】60°或90°

【解析】試題分析：（1）求出∠BOD的度數(shù)，在Rt△ODE中，根據(jù)∠DOE=30°，OE=2，求出DE和OD即可；

（2）分為4種情況，分別求出∠CAB和∠OAB（或∠OAD、∠OCB）的度數(shù)，相加（或相減）即可求出答案．

試題解析：（1）∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，

∴，

∴∠BDC=∠BOD，

而∠CDB=15°，

∴∠BOD=2×15°=30°，

在Rt△ODE中，∠DOE=30°，OE=2，

∴OE=DE，OD=2DE，

∴DE==2，

∴OD=4，

即⊙O的半徑為4；

（2）有4種情況：如圖：

①如圖1所示：∵OA=OB，∠AOB=30°，

∴∠OAB=∠OBA=75°，

∵CD⊥AB，AB是直徑，

∴弧BC=弧BD，

∴∠CAB=∠BOD=15°，

∴∠CAB=∠BAO+∠CAB=15°+75°=90°；

②如圖2所示，∠CAD=75°﹣15°=60°；

③如圖3所示：∠ACB=90°；

④如圖4所示：∠ACB=60°；

故答案為：60°或90°．