Question

【題目】如圖，直線y=﹣2x+8分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，直線yx+3交y軸于點(diǎn)C，兩直線相交于點(diǎn)D．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖2，過點(diǎn)A作AE∥y軸交直線yx+3于點(diǎn)E，連接AC，BE．求證：四邊形ACBE是菱形；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)F在線段BC上，點(diǎn)G在線段AB上，連接CG，FG，當(dāng)CG=FG，且∠CGF=∠ABC時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)D坐標(biāo)(2，4)；（2）證明見詳解；（3）點(diǎn)G(，)．

【解析】

(1)兩個(gè)解析式組成方程組，可求交點(diǎn)D坐標(biāo)；
(2)先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)C坐標(biāo)，由兩點(diǎn)距離公式可求BC=AE=AC=BE=5，可證四邊形ACBE是菱形；
(3)由“AAS”可證△ACG≌△BGF，可得BG=AC=5，由兩點(diǎn)距離公式可求點(diǎn)G坐標(biāo)．

解：（1）根據(jù)題意可得：，

解得：，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)(2，4)

（2）∵直線y=﹣2x+8分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，

∴點(diǎn)B(0，8)，點(diǎn)A(4，0)．

∵直線yx+3交y軸于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C(0，3)．

∵AE∥y軸交直線yx+3于點(diǎn)E，

∴點(diǎn)E(4，5)

∵點(diǎn)B(0，8)，點(diǎn)A(4，0)，點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)E(4，5)，

∴BC=5，AE=5，AC5，BE5，

∴BC=AE=AC=BE，

∴四邊形ACBE是菱形；

（3）∵BC=AC，

∴∠ABC=∠CAB．

∵∠CGF=∠ABC，∠AGF=∠ABC+∠BFG=∠AGC+∠CGF，

∴∠AGC=∠BFG，且FG=CG，∠ABC=∠CAB，

∴△ACG≌△BGF(AAS)，

∴BG=AC=5，

設(shè)點(diǎn)G(a，﹣2a+8)，

∴(﹣2a+8﹣8)2+(a﹣0)2=52，

∴a=±，

∵點(diǎn)G在線段AB上，

∴a，

∴點(diǎn)G(，8﹣2)