Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=x+4的圖象與反比例函數(shù)y= （k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（﹣1，a），B（b，1）兩點(diǎn)．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）求△PAB的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)x=﹣1時，a=x+4=3，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，3）．

將點(diǎn)A（﹣1，3）代入y= 中，

3= ，解得：k=﹣3，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣

（2）

解：當(dāng)y=b+4=1時，b=﹣3，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，1）．

作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D，連接AD，交x軸于點(diǎn)P，此時PA+PB的值最小，如圖所示．

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，1），

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，﹣1）．

設(shè)直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n，

將點(diǎn)A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y=mx+n中，

，解得： ，

∴直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+5．

當(dāng)y=2x+5=0時，x=﹣ ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ，0）

（3）

解：S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =

【解析】（1）由一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法，即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D，連接AD，交x軸于點(diǎn)P，此時PA+PB的值最小，由點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法，即可求出直線AB的函數(shù)表達(dá)式，再由一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP ， 即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單,經(jīng)過原點(diǎn)一直線；兩個系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)，以及對反比例函數(shù)的圖象的理解，了解反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點(diǎn)．