Question

如圖(1)所示，AB是半圓O的直徑，OC⊥AB交半圓O于C點，連結AC，⊙與OC，AB及半圓O相切于點E，F(xiàn)，G． (1) 求證：AC＝AF (2) 若C是半圓上任一點(不與A，B重合)，CD⊥AB于D，其他條件不變，如圖(2)所示，(1)的結論是否成立？如果成立，請給出證明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	如圖所示，連結并延長，則其延長線必過G點，連結O'F，則⊥ AB． 　　設OA＝R，⊙O的半徑為r，在Rt△中，OF＝·cos＝(R－r)．又因為＝r，所以(R－r)＝r，所以r＝(－1)R，所以AF＝OA＋OF＝R＋(－1)R＝R．在Rt△AOC中，因為OA＝OC，所以AC＝R，所以AC＝AF．
(2)	結論AC＝AF仍然成立．連結，則⊥AB，連結OO'并延長，則必 過G點． 　　設AD＝a，OA＝R，＝r，則DF＝＝＝r．因為CD⊥AB于D，且AB為半圓O的直徑，所以CD2＝AD·DB＝(2R－a)a＝2aR－a2，所以，AC2＝CD2＋AD2＝2aR．在Rt△中，2＝OF2＋，(R－r)2＝r2＋(a－R＋r)2化簡得(r＋a)2＝2aR，所以AF2＝2aR，所以AC2＝AF2，故AC＝AF．