Question

【題目】閱讀理解：

我們把滿足某種條件的所有點(diǎn)所組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡．

例如：角的平分線是到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡．

問(wèn)題：如圖1，已知EF為△ABC的中位線，M是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM交EF于點(diǎn)P，那么動(dòng)點(diǎn)P為線段AM中點(diǎn)．

理由：∵線段EF為△ABC的中位線，∴EF∥BC，由平行線分線段成比例得：動(dòng)點(diǎn)P為線段AM中點(diǎn)．

由此你得到動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是： ．

知識(shí)應(yīng)用：

如圖2，已知EF為等邊△ABC邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EF；若AF=BE，且等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，求線段EF中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)．

拓展提高：

如圖3，P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），在線段AB的同側(cè)分別作等邊△APC和等邊△PBD，連結(jié)AD、BC，交點(diǎn)為Q．

（1）求∠AQB的度數(shù)；

（2）若AB=6，求動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】閱讀理解：線段EF；知識(shí)應(yīng)用：4；拓展提高：（1）120°；（2）．

【解析】

試題分析：閱讀理解：根據(jù)軌跡的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段EF．

知識(shí)應(yīng)用：如圖1中，作△ABC的中位線MN，作EG∥AC交NM的延長(zhǎng)線于G，EF與MN交于點(diǎn)Q′，△GQ′E≌△NQ′F，推出Q、Q′重合即可解決問(wèn)題．

拓展提高：如圖2中，（1）只要證明△APD≌△CPB，推出∠DQG=∠BPG=60°結(jié)論解決問(wèn)題．（2）由（1）可知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是，設(shè)弧AB所在圓的圓心為O，Z 圓上任意取一點(diǎn)M，連接AM，BM，則∠M=60°，作OH⊥AB于H，則AH=BH=3，OH=，OB=，利用弧長(zhǎng)公式即可解決．

試題解析：閱讀理解：根據(jù)軌跡的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段EF．

故答案為：線段EF．

知識(shí)應(yīng)用：如圖1中，作△ABC的中位線MN，作EG∥AC交NM的延長(zhǎng)線于G，EF與MN交于點(diǎn)Q′．

∵△ABC是等邊三角形，MN是中位線，∴AM=BM=AN=CN，∵AF=BE，∴EM=FN，∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B=∠GME=60°，∵∠A=∠GEM=60°，∴△GEM是等邊三角形，∴EM=EG=FN，在△GQ′E和△NQ′F中，∵∠GQ′E=∠NQ′F，∠G=∠FNQ′，GE=FN，∴△GQ′E≌△NQ′F，∴EQ′=FQ′，∵EQ=QF，′點(diǎn)Q、Q′重合，∴點(diǎn)Q在線段MN上，∴段EF中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段MN，MN=BC=×8=4，∴線段EF中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)為4．

拓展提高：如圖2中，（1）∵△APC，△PBD都是等邊三角形，∴AP=PC，PD=PB，∠APC=∠DPB=60°，∴∠APD=∠CPB，在△APD和△CPB中，∵AP=PC，∠APD=∠CPB，DP=BP，∴△APD≌△CPB，∴∠ADP=∠CBP，設(shè)BC與PD交于點(diǎn)G，∵∠QGD=∠PGB，∴∠DQG=∠BPG=60°，∴∠AQB=180°﹣∠DQG=120°

（2）由（1）可知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是，設(shè)弧AB所在圓的圓心為O，Z 圓上任意取一點(diǎn)M，連接AM，BM，則∠M=60°，∴∠AOB=2∠M=120°，作OH⊥AB于H，則AH=BH=3，OH=，OB=，∴弧AB的長(zhǎng)==，∴動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)．