Question

如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結AO并延長交⊙O于點E，連結EC．若AB=8，CD=2，則EC的長為　　　　　　．

　

Answer 1

　2　．

【考點】垂徑定理；勾股定理；三角形中位線定理；圓周角定理．

【專題】計算題．

【分析】連結BE，設⊙O的半徑為R，由OD⊥AB，根據垂徑定理得AC=BC=AB=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣2，根據勾股定理得到（R﹣2）²+4²=R²，解得R=5，則OC=3，由于OC為△ABE的中位線，則BE=2OC=6，再根據圓周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可計算出CE．

【解答】解：連結BE，設⊙O的半徑為R，如圖，

∵OD⊥AB，

∴AC=BC=AB=×8=4，

在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣2，

∵OC²+AC²=OA²，

∴（R﹣2）²+4²=R²，解得R=5，

∴OC=5﹣2=3，

∴BE=2OC=6，

∵AE為直徑，

∴∠ABE=90°，

在Rt△BCE中，CE===2．

故答案為：2．

【點評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理、圓周角定理．