Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn).

（1）我們把一條拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線(xiàn)的“方點(diǎn)”.試求拋物線(xiàn)的“方點(diǎn)”的坐標(biāo)；

（2）如圖，若將該拋物線(xiàn)向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，新拋物線(xiàn)與軸相交于、兩點(diǎn)（在左側(cè)），與軸相交于點(diǎn)，連接.若點(diǎn)是直線(xiàn)上方拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，求的面積的最大值；

（3）第（2）問(wèn)中平移后的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)的方點(diǎn)坐標(biāo)是，；（2）當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為；（3）存在，或

【解析】

(1)由定義得出x=y，直接代入求解即可

(2)作輔助線(xiàn)PD平行于y軸，先求出拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的解析式，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)坐標(biāo)求出PD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出面積的二次函數(shù)，再利用配方法得出最大值

(3)通過(guò)拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的解析式可求出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，得出△OBC為等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)C作交x軸于點(diǎn)M，作交y軸于點(diǎn)N，得出M，N的坐標(biāo)，得出直線(xiàn)BN、MC的解析式然后解方程組即可.

解：（1）由題意得：∴

解得，

∴拋物線(xiàn)的方點(diǎn)坐標(biāo)是，.

（2）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交于點(diǎn).

易得平移后拋物線(xiàn)的表達(dá)式為，直線(xiàn)的解析式為.

設(shè)，則.

∴

∴

∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為.

(3)如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作交x軸于點(diǎn)M，作交y軸于點(diǎn)N

由已知條件得出點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(3,0)，C的坐標(biāo)為C(0,3)，

∴△COB是等腰直角三角形，

∴可得出M、N的坐標(biāo)分別為：M(-3,0)，N(0,-3)

直線(xiàn)CM的解析式為：y=x+3

直線(xiàn)BN的解析式為：y=x-3

由此可得出：或

解方程組得出：或

∴或