Question

如圖，正方形ABCD的面積為S，對角線相交于點O，點O是正方形的一個頂點，如果兩個正方形的邊長相等，那么正方形繞點O轉動時，

（1）求兩個正方形重疊部分的面積。

（2）如果正方形的邊長大于正方形ABCD的邊長，則重疊部分的面積等于多少？與上述結論是否一致？

（3）將正方形改為，只要滿足什么條件，重疊部分的面積不變？

（4）如果把正方形ABCD改為等邊△ABC，O為等邊△ABC的中心，以O為頂點的扇形繞點O無論怎樣轉動，要使它與等邊△ABC的重疊部分的面積總保持不變，問扇形應滿足什么條件？并且說明你的理由。

Answer 1

（1）解：∵ABCD為正方形

∴OA＝OB，AC⊥BD

∠1＝∠2＝45°

∠3＋∠BOE＝90°

∵是正方形

∴∠BOE＋∠4＝90°

∴∠3＝∠4

∴△AOE≌△BOF

∴兩個正方形重疊部分的面積

（2）如果正方形的邊長大于正方形ABCD的邊長，則重疊部分的面積仍然等于與上述結論一致。因為求解的過程沒有任何改變。

（3）將正方形變?yōu)?img width=53 height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2010/02/08/08/2010020808421546582120.files/image034.gif'>，只要滿足，并且與正方形ABCD沒有交點，那么求重疊部分的面積的方法與上面的方法一樣，所以重疊部分的面積不改變。

（4）如果把正方形ABCD改為等邊△ABC，O為等邊△ABC的中心，以O為頂點的扇形繞點O無論怎樣轉動，要使它與等邊△ABC的重疊部分的面積總保持不變，扇形應滿足的條件是：

，且

類似上面的方法，容易證明△BOE≌△COF（如圖4）。

所以重疊部分的面積，而且保持不變。