如圖所示,在△ABC中,D、G分別是AB、AC上的點,且BD=CG,M、N分別是BG、CD的中點,過MN的直線交AB于P,交AC于Q.
求證:AP=AQ.
證明:取 BC的中點E,連ME,NE.在△GBC中,∵EM是中位線,∴EMCG,∠EMN=∠AQP.在△BCD中,∵EN是中位線,∴ENBD,∠ENM=∠APQ,∵BD=CG.∴EM=EN.∴∠EMN=∠ENM,∴∠APQ=∠AQP∴AP=AQ解析:要證明 AP=AQ,只要證明∠APQ=∠AQP,為利用已知條件BD=CG及M、N為BG、CD的中點,故可考慮添加中位線為輔助線,即取BC邊的中點E,連EM、EN,則EM、EN分別是△BCG和△BCD的中位線.由中位線定理可得EMCG,ENBD.由BD=CG知EM=EN,得∠APQ=∠ENM=∠EMN=∠AQP,∴AP=AQ.思維延伸:當(dāng)已知條件中有中點的條件時,可考慮構(gòu)造三角形的中位線,利用中位線的性質(zhì)解決相關(guān)的問題. |
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