Question

（2013•竹溪縣模擬）已知拋物線C₁：y=x²-2mx+n（m，n為常數(shù)，且m≠0，n＜0）的頂點為A，與y軸交于點C；拋物線C₂與拋物線C₁關于y軸對稱，其頂點為B，連接AC，BC，AB．

（1）請直接寫出拋物線C₂的解析式；
（2）當m=1時，判定△ABC的形狀，并說明理由；
（3）當△ABC為等邊三角形時，請求出m的值；并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得：關于y軸對稱，縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)，即可求得；
（2）設AB與y軸交于點D，先由軸對稱的性質(zhì)得出AC=BC，則△ABC是等腰三角形，再根據(jù)m=1時，可得AD=CD=1，∠BCD=∠ACD=45°，從而得出△ABC為等腰直角三角形；
（3）先求出AD=|m|，CD=m²，再根據(jù)△ABC為等邊三角形得出∠CAD=60°，然后在Rt△ACD中利用正切函數(shù)的定義列出關于m的方程，解方程即可．

解答：解：（1）∵拋物線C₁、C₂關于y軸對稱，拋物線C₁：y=x²-2mx+n，
∴拋物線C₂的解析式為：y=（-x）²-2m（-x）+n，即y=x²+2mx+n；

（2）當m=1時，△ABC為等腰直角三角形．理由如下：
如圖，設AB與y軸交于點D．
∵拋物線C₁、C₂關于y軸對稱，
∴頂點A與頂點B關于y軸對稱，
又∵點C、D都在y軸上，
∴AC=BC，CD⊥AB，∠BCD=∠ACD．
當m=1時，∵拋物線C₁：y=x²-2x+n=（x-1）²+n-1，
∴頂點A的坐標為A（1，n-1），
∴D點坐標為（0，n-1），AD=1．
又∵點C的坐標為（0，n），
∴CD=n-（n-1）=1，
∴AD=CD，
∴∠ACD=45°，
∴∠BCD=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC為等腰直角三角形；

（3）∵拋物線C₁：y=x²-2mx+n=（x-m）²+n-m²，
∴頂點A的坐標為A（m，n-m²），
∴D點坐標為（0，n-m²），AD=|m|．
又∵點C的坐標為（0，n），
∴CD=n-（n-m²）=m²．
當△ABC為等邊三角形時，∠CAD=60°．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴tan∠CAD=

CD

AD

=

m2

|m|

=|m|，
∴|m|=

3

，
∴m=±

3

．

點評：此題考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義等知識，綜合性較強，難度適中．注意數(shù)形結合思想的應用．