Question

如圖，在△ABC中，已知BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D．
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）若AC=6cm，求AD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等、三角形內(nèi)角和定理來求∠A的度數(shù)；
（2）連接BD．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)知△ABD是等腰三角形；然后利用（1）中的∠A=∠C=30°和已知條件∠B=120°可以推知△CDB是直角三角形，利用30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半即可求得BD與CD間的數(shù)量關(guān)系；最后利用等腰三角形ABD的兩腰相等（AD=BD）通過等量代換即可求得AC=3AD，從而求得線段AD的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）∵在△ABC中，已知BA=BC，
∴∠A=∠C（等邊對(duì)等角）；
又∵∠B=120°，
∴∠A=

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2

（180°-120°）=30°（三角形內(nèi)角和定理）；

（2）連接BD．
∵AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，
∴AD=BD，∠A=∠ABD=30°，
∴∠CBD=90°；
由（1）知∠A=∠C=30°，
∴BD=

1

2

CD（30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半），
∴CD=2AD=2BD，
∴AC=AD+CD=AD+2AD=3AD；
又∵AC=6cm，
∴AD=2cm．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形以及三角形內(nèi)角和定理．解答（2）題時(shí)，要充分利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)．