Question

（2013•溧水縣一模）如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在對角線BD上運(yùn)動（B、D兩點(diǎn)除外），線段PA繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)m°（0＜m＜180），得線段PQ．
（1）若點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，請在圖中用尺規(guī)作出點(diǎn)P所處的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）若點(diǎn)Q落在邊CD上，且∠ADB=n°．
①探究m與n之間的數(shù)量關(guān)系；
②若點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動，PQ=QD，求n的取值范圍．（在備用圖中探究）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和作法作出AD的垂直平分線即可；
（2）①利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出PC=PQ，再利用菱形的性質(zhì)得出∠3=∠PAD，進(jìn)而求出∠PAD+∠PQD=180°，得出即可；
②利用PQ=QD，得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=2n°，進(jìn)而利用∠BCD≥∠3≥∠ACD，得出180-2n≥2n≥90-n，求出即可．

解答：解：（1）如圖1所示：作AD的垂直平分線，交BC于點(diǎn)P．

（2）①如圖2，連接PC．
由PC=PQ，得∠3=∠4．
由菱形ABCD，得∠3=∠PAD．
所以得∠4=∠PAD，
而∠4+∠PQD=180°．
所以∠PAD+∠PQD=180°．
所以m+2n=180．

②解法一：∵PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=2n°．
而點(diǎn)P在線段BO上運(yùn)動，
∴∠BCD≥∠3≥∠ACD，
∴180-2n≥2n≥90-n，
∴30≤n≤45．
解法二：由PQ=QD，可得∠QPD=∠1，
又∵∠1=∠2，
∴∠QPD=∠2，
∵點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動，
∴∠ABC≤∠APQ且∠APQ≤90°+∠2（或∠ABC≤∠APQ≤90°+∠2）
即（2n≤180-2n≤90+n）
∴30≤n≤45．

點(diǎn)評：此題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)以及外角的性質(zhì)等知識，熟練利用相關(guān)知識得出對應(yīng)角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．