Question

如圖，等邊△ABC的面積為S，⊙O是它的外接圓，點P是

BC

的中點．
（1）試判斷過點C所作⊙O的切線與直線AB是否相交，并證明你的結論；
（2）設直線CP與AB相交于點D，過點B作BE⊥CD，垂足為E，證明BE是⊙O的切線，并求△BDE的面積．

Answer 1

分析：（1）作⊙O的切線CF，判斷出∠BCF=∠ABC，得到CF∥AB，可知CF與直線AB不相交．
（2）OB是圓O直徑，證出∠HBE=90°，可得BE是⊙O的切線，并將S_△BDE轉化為S_△BCE．

解答：解：（1）CF是⊙O的切線，（如圖）
CF與直線AB不相交．（1分）
證明：∵CF是⊙O的切線，
∴∠BCF=∠A，（3分）
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠A，
∴∠BCF=∠ABC，
∴CF∥AB，
∴CF與直線AB不相交．（4分）

（2）連接BO并延長交AC于H．
∵⊙O是等邊△ABC的外接圓，
∴∠BHC=90°，（5分）
∵點P是BC的中點，
∴∠BCE=30°．（6分）
又∵∠ACB=60°，
∴∠HCE=90°．
∵∠BEC=90°，
∴∠HBE=90°．
∴BE是⊙O的切線． （8分）
在△ACD中，
∵∠ACD=90°，∠A=60°，
∴∠D=30°，（9分）
∴BD=BC，
∴DE=CE，
∴S_△BDE=S_△BCE，（10分）
在矩形BHCE中，
S_△BCE=S_△BCH=

1

2

S，（11分）
∴S_△BCE=

1

2

S，
∴S_△BDE=

1

2

S．（12分）

點評：本題綜合考查了切線的判定，解直角三角形等知識點的運用．此題是一個大綜合題，難度較大．