Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A、B的坐標分別為（8，0）、（0，6）．動點Q從點O、動點P從點A同時出發(fā)，分別沿著OA方向、AB方向均以1個單位長度/秒的速度勻速運動，運動時間為t（秒）（0＜t≤5）．以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個交點分別為點C、D，連結CD、QC．
（1）求當t為何值時，點Q與點D重合？
（2）設△QCD的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關系，并寫出自變量的取值范圍；
（3）若⊙P與線段QC只有一個交點，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由CD∥OB，得$\frac{AD}{OA}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AD}{8}$=$\frac{2t}{10}$，推出AD=$\frac{8}{5}$t，當D、Q重合時，OQ+AD=8，可得方程t+$\frac{8}{5}$t=8，解方程即可．
（2）分兩種情形討論①當0＜t≤$\frac{40}{13}$時，②$\frac{40}{13}$＜t≤5時，分別求解即可．
（3）當CQ與⊙P相切時，由△CDQ∽△ADC，得CD²=AD•QD，可得（$\frac{6}{5}$t）²=（8-t-$\frac{8}{5}$t）•$\frac{8}{5}$t，解得t=$\frac{16}{7}$，觀察圖象即可解決問題，注意“線段QC”．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，∵OA=8，OB=6，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵AC是⊙P直徑，
∴∠CDA=90°，即可CD⊥OA，
∴CD∥OB，
∴$\frac{AD}{OA}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{BO}$，
∴$\frac{AD}{8}$=$\frac{2t}{10}$=$\frac{CD}{6}$，
∴AD=$\frac{8}{5}$t，CD=$\frac{6}{5}$t，
∵OQ=t，
當D、Q重合時，OQ+AD=8，
∴t+$\frac{8}{5}$t=8，
∴t=$\frac{40}{13}$．
∴t=$\frac{40}{13}$s時，D、Q重合．

（2）①當0＜t≤$\frac{40}{13}$時，S=$\frac{1}{2}$•（8-t-$\frac{8}{5}$t）•$\frac{6}{5}$t=-$\frac{39}{25}$t²+$\frac{24}{5}$t．
②$\frac{40}{13}$＜t≤5時，s=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{8}{5}$t-8）•$\frac{6}{5}$t=$\frac{39}{25}$t²-$\frac{24}{5}$t．
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{39}{25}{t}^{2}+\frac{24}{5}t}&{（0＜t≤\frac{40}{13}）}\\{\frac{39}{25}{t}^{2}-\frac{24}{5}t}&{（\frac{40}{13}＜t≤5）}\end{array}\right.$．

（3）當CQ與⊙P相切時，由△CDQ∽△ADC，得CD²=AD•QD，
∴（$\frac{6}{5}$t）²=（8-t-$\frac{8}{5}$t）•$\frac{8}{5}$t，
解得t=$\frac{16}{7}$，
觀察圖象可知，0＜t$≤\frac{16}{7}$或$\frac{40}{13}$＜t≤5時，⊙P與線段QC只有一個交點．

點評 本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質、平行線分線段成比例定理、分段函數(shù)等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會取特殊位置解決實際問題，屬于中考壓軸題．