如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜邊AB上一點(diǎn)O為圓心,OB為半徑作⊙O,交AC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)D,且∠BEC=∠BDE.

(1)求證:AC是⊙O的切線;

(2)連接OC交BE于點(diǎn)F,若,求的值.


【考點(diǎn)】切線的判定;相似三角形的判定與性質(zhì).

【分析】(1)連接OE,證得OE⊥AC即可確定AC是切線;

(2)根據(jù)OE∥BC,分別得到△AOE∽△ACB和△OEF∽△CBF,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等找到中間比即可求解.

【解答】解:(1)證明:連接OE,

∵OB=OE,

∴∠OBE=∠OEB,

∵∠ACB=90°,

∴∠CBE+∠BEC=90°,

∵BD為⊙O的直徑,

∴∠BED=90°,

∴∠DBE+∠BDE=90°,

∴∠CBE=∠DBE,

∴∠CBE=∠OEB,

∴OE∥BC,

∴∠OEA=∠ACB=90°,

即OE⊥AC,

∴AC為⊙O的切線;

(2)∵OE∥BC,∴△AOE∽△ABC,

,

,

∵OE∥BC,

∴△OEF∽△CBF,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)及判斷,在解決切線問題時(shí),常常連接圓心和切點(diǎn),證明垂直或根據(jù)切線得到垂直.


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C.                            D.

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