如圖,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,點D是AC的中點,將一塊銳角為45°的直角三角板ADE如圖放置,使三角板斜邊的兩個端點分別與A、D重合,連接BE、EC.
下列判斷正確的有( �。�
①△ABE≌△DCE;②BE=EC;③BE⊥EC;④EC=
5
DE.
A、1個B、2個C、3個D、4個
考點:全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形
專題:壓軸題
分析:根據(jù)AC=2AB,點D是AC的中點求出AB=CD,再根據(jù)△ADE是等腰直角三角形求出AE=DE,并求出∠BAE=∠CDE=135°,然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCE全等,從而判斷出①小題正確;根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=EC,從而判斷出②小題正確;根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠AEB=∠DEC,然后推出∠BEC=∠AED,從而判斷出③小題正確;根據(jù)等腰直角三角形斜邊等于直角邊的
2
倍,用DE表示出AD,然后得到AB、AC,再根據(jù)勾股定理用DE與EC表示出BC,整理即可得解,從而判斷出④小題正確.
解答:解:∵AC=2AB,點D是AC的中點,
∴CD=
1
2
AC=AB,
∵△ADE是等腰直角三角形,
∴AE=DE,
∠BAE=90°+45°=135°,∠CDE=180°-45°=135°,
∴∠BAE=∠CDE,
在△ABE和△DCE中,
AB=CD
∠BAE=∠CDE
AE=DE

∴△ABE≌△DCE(SAS),故①小題正確;
∴BE=EC,∠AEB=∠DEC,故②小題正確;
∵∠AEB+∠BED=90°,
∴∠DEC+∠BED=90°,
∴BE⊥EC,故③小題正確;
∵△ADE是等腰直角三角形,
∴AD=
2
DE,
∵AC=2AB,點D是AC的中點,
∴AB=
2
DE,AC=2
2
DE,
在Rt△ABC中,BC2=AB2+AC2=(
2
DE)2+(2
2
DE)2=10DE2
∵BE=EC,BE⊥EC,
∴BC2=BE2+EC2=2EC2,
∴2EC2=10DE2,
解得EC=
5
DE,故④小題正確,
綜上所述,判斷正確的有①②③④共4個.
故選D.
點評:本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),準確識圖,根據(jù)△ADE是等腰直角三角形推出AE=DE,∠BAE=∠CDE=135°是解題的關鍵,也是解決本題的突破口.
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1
2
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3
,
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2
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