Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，動點P從B點出發(fā)，沿線段BC向點C做勻速運動；動點Q從點D出發(fā)，沿線段DA向點A做勻速運動，過Q點垂直于AD的射線交AC于點M，交BC于點N、P、Q兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當Q點運動到A點時，P、Q兩點同時停止運動，設點Q運動的時間為t秒。
（1）求NC、MC的長（用含t的代數式表示）；
（2）當t為何值時，四邊形PCDQ構成平行四邊形？
（3）是否存在某一時刻，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
（4）探究：t為何值時，△PMC為等腰三角形？

Answer 1

解：（1）在直角梯形ABCD中， ∵QN⊥AD，∠ABC=90°， ∴四邊形ABNQ是矩形， ∵QD=t，AD=3， ∴BN=AQ=3-t， ∴NC=BC-BN=4-（3-t）=t+1， ∵AB=3，BC=4，∠ABC=90°， ∴AC=5， ∵AB∥QN， ∴MN∥AB， ∴ 即， ∴；
（2）當QD=CP時，四邊形PCDQ構成平行四邊形， ∴當t=4-t，即t=2時，四邊形PCDQ構成平行四邊形；
（3）∵MN∥AB， ∴△MNC∽△ABC， 要使射線QN將△ABC的面積平分，則△MNC與△ABC的面積比為1：2，即相似比為， ∴ 即， ∴， ∴， ∴ ∵△ABC的周長的一半， ∴不存在某一時刻，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長同時平分；
（4）分3種情況： ①如圖（1）， 當PM=MC時，△PMC為等腰三角形， 則PN=NC，即3-t-t=t+1， ∴， 即時，△PMC為等腰三角形； ②如圖（2），當CM=PC時，△PMC為等腰三角形， 即，解得 ∴時，△PMC為等腰三角形； ③如圖（3），當PM=PC時，△PMC為等腰三角形， ∵PC=4-t，NC=t+1， ∴PN=2t-3， 又∵， ∴， 由勾股定理可得， 解得，t2=-1（舍去）， 即當時，△PMC為等腰三角形， 綜上所述，當t=，，時，△PMC為等腰三角形。