已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF,BE=EF,∠BEF=90°,按圖①放置,使點(diǎn)F在BC上,取DF的中點(diǎn)G,連接EG、CG.
(1)探索EG、CG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明;
(2)將圖①中△BEF繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,再連接DF,取DF中點(diǎn)G(如圖②),問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立.證明你的結(jié)論;
(3)將圖①中△BEF繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度(旋轉(zhuǎn)角在0°到90°之間),再連接DF,取DF的中點(diǎn)G(如圖③),問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立,證明你的結(jié)論.

解:(1)EG=CG且EG⊥CG.
證明如下:如圖①,連接BD.
∵正方形ABCD和等腰Rt△BEF,
∴∠EBF=∠DBC=45°.
∴B、E、D三點(diǎn)共線(xiàn).
∵∠DEF=90°,G為DF的中點(diǎn),∠DCB=90°,
∴EG=DG=GF=CG.
∴∠EGF=2∠EDG,∠CGF=2∠CDG.
∴∠EGF+∠CGF=2∠EDC=90°,
即∠EGC=90°,
∴EG⊥CG.

(2)仍然成立,
證明如下:如圖②,延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)H.
∵BE⊥EF,∴EF∥CD,∴∠1=∠2.
又∵∠3=∠4,F(xiàn)G=DG,
∴△FEG≌△DHG,
∴EF=DH,EG=GH.
∵△BEF為等腰直角三角形,
∴BE=EF,∴BE=DH.
∵CD=BC,∴CE=CH.
∴△ECH為等腰直角三角形.
又∵EG=GH,
∴EG=CG且EG⊥CG.

(3)仍然成立.
證明如下:如圖③,延長(zhǎng)CG至H,使GH=CG,連接HF交BC于M,連接EH、EC.
∵GF=GD,∠HGF=∠CGD,HG=CG,
∴△HFG≌△CDG,
∴HF=CD,∠GHF=∠GCD,
∴HF∥CD.
∵正方形ABCD,
∴HF=BC,HF⊥BC.
∵△BEF是等腰直角三角形,
∴BE=EF,∠EBC=∠HFE,
∴△BEC≌△FEH,
∴HE=EC,∠BEC=∠FEH,
∴∠BEF=∠HEC=90°,
∴△ECH為等腰直角三角形.
又∵CG=GH,
∴EG=CG且EG⊥CG.

分析:(1)首先證明B、E、D三點(diǎn)共線(xiàn),根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半,即可證明EG=DG=GF=CG,得到∠EGF=2∠EDG,∠CGF=2∠CDG,從而證得∠EGC=90°;
(2)首先證明△FEG≌△DHG,然后證明△ECH為等腰直角三角形.可以證得:EG=CG且EG⊥CG.
(3)首先證明:△BEC≌△FEH,即可證得:△ECH為等腰直角三角形,從而得到:EG=CG且EG⊥CG.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證得三角形全等是解題的關(guān)鍵,解題過(guò)程中要注意前后之間的聯(lián)系,在變化過(guò)程中找到不變的關(guān)系.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A,將正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).
(1)發(fā)現(xiàn)與證明:
發(fā)現(xiàn):①當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)(如圖1),△ABE與△ADG的面積關(guān)系是:
 

②當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)(如圖2),△ABE與△ADG的面積關(guān)系是:
 

證明:請(qǐng)你選擇上述兩個(gè)發(fā)現(xiàn)中的任意一個(gè)加以證明,選擇①、②證明的滿(mǎn)分分別為4分和6分.(注意:證明前要注明選擇了哪一個(gè)發(fā)現(xiàn))
(2)引申與運(yùn)用:
引申:當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度時(shí)(如圖3),△ABE與△ADG的面積關(guān)系是:
 

運(yùn)用:已知△ABC,AB=5cm,BC=3cm,分別以AB、BC、CA為邊向外作正方形(如圖4),則圖中陰影部分的面積和的最大值是
 
cm2
證明:我選擇
 
進(jìn)行證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

24、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一個(gè)公共點(diǎn)A,點(diǎn)G、E分別在線(xiàn)段AD、AB上.
(1)如圖1,連接DF、BF,證明:BF=DF;
(2)若將正方形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中線(xiàn)段DF與BF的長(zhǎng)還相等嗎?若相等,請(qǐng)證明;若相不等,連接DG,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,你能否找到一條線(xiàn)段的長(zhǎng)與線(xiàn)段DG的長(zhǎng)始終相等.并以圖2為例說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A,將正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).
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(1)發(fā)現(xiàn):當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)(如圖1),△ABE與△ADG的面積關(guān)系是:
 

(2)引申:當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度時(shí)(如圖2),△ABE與△ADG的面積關(guān)系是:
 
.并證明你的結(jié)論.
(3)運(yùn)用:已知△ABC,AB=5cm,BC=3cm,分別以AB、BC、CA為邊向外作正方形(如圖3),則圖中陰影部分的面積和的最大值是
 
cm2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知正方形ABCD和EFCG,點(diǎn)E、F、G分別在線(xiàn)段AC、BC、CD上,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6.
(1)如果正方形EFCG的邊長(zhǎng)為4,求證:△ABE∽△CAG;
(2)正方形EFCG的邊長(zhǎng)為多少時(shí),tan∠ABE×cot∠CAG=3.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A,將正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).

(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),△ABE與△ADG面積之間的關(guān)系為:S△ABE
=
=
S△ADG(填“<”“=”“>”);
(2)如圖,當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度時(shí),S△ABE
=
=
S△ADG(填“<”“=”“>”),并說(shuō)明理由;
(3)如圖,四邊形ABCD、四邊形AEFG和四邊形DGMN均為正方形,則S△ABE、S△ADG、S△CDN和S△GMF的關(guān)系是
相等
相等

(4)某小區(qū)中有一塊空地,要在其中建三個(gè)正方形健身場(chǎng)所,其余空地(圖中陰影部分)修成草坪,其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為6m.另外兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和為10m,則草坪的最大面積為
48
48
m2

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