Question

已知命題：“P是等邊三角形ABC內的一點，若P到三邊的距離相等，則PA=PB=PC．”證明這個命題，并寫出它的逆命題．判斷其逆命題成立嗎？若成立，請給出證明．

Answer 1

              解：如圖，已知P是等邊三角形ABC內的一點，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PD=PE=PF．求證：PA=PB=PC．

證明：∵PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PD=PE，

∴BP平分∠ABC，

∵BA=BC，

∴BP是AC的垂直平分線，

同理，AP是BC的垂直平分線，CP是AB的垂直平分線，

∴P是△ABC三邊垂直平分線的交點，

∴PA=PB=PC．

逆命題：P是等邊三角形ABC內的一點，若PA=PB=PC，則P到三邊的距離相等．其逆命題成立．

證明：∵PA=PB，

∴P在AB的垂直平分線上，

∵AC=BC，

∴C在AB的垂直平分線上，

∴CP是AB的垂直平分線，

∴CP平分∠ACB，

同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，

∴P是△ABC三個角的角平分線的交點，

∴PD=PE=PF．