Question

已知：函數（a為常數）．

（1）若該函數圖象與坐標軸只有兩個交點，求a的值；

（2）若該函數圖象是開口向上的拋物線，與x軸相交于點A（，0），B（，0）兩點，與y軸相交于點C，且．

①求拋物線的解析式；

②作點A關于y軸的對稱點D，連結BC，DC，求sin∠DCB的值．

Answer 1

（1）或或；（2）①；②．

【解析】

試題分析：（1）根據a取值的不同，有三種情形，需要分類討論，避免漏解．

（2）①函數與x軸相交于點A（，0），B（，0）兩點，則，，滿足時，方程的根與系數關系．因為，則可平方，用，表示，則得關于a的方程，可求，并得拋物線解析式；

②已知解析式則可得A，B，C，D坐標，求sin∠DCB，須作垂線構造直角三角形，結論易得．

試題解析：（1）函數（a為常數），

若，則，與坐標軸有兩個交點（0，1），（1，0）；

若且圖象過原點時，，，有兩個交點（0，0），（1，0）；

若且圖象與x軸只有一個交點時，令有：△=，解得，有兩個交點（0，﹣1），（1，0），

綜上得：或或時，函數圖象與坐標軸有兩個交點；

（2）①∵函數與x軸相交于點A（，0），B（，0）兩點，∴，為的兩個根，∴，，∵，∴=，解得（函數開口向上，，舍去），或，∴；

②∵函數與x軸相交于點A（，0），B（，0）兩點，與y軸相交于點C，且，∴A（1，0），B（3，0），C（0，3），∵D為A關于y軸的對稱點，∴D（﹣1，0）．根據題意畫圖，如圖1，過點D作DE⊥CB于E，∵OC=3，OB=3，OC⊥OB，∴△OCB為等腰直角三角形，∴∠CBO=45°，∴△EDB為等腰直角三角形，設DE=x，則EB=x，∵DB=4，∴，∴，即DE=．在Rt△COD中，∵DO=1，CO=3，∴CD=，∴sin∠DCB==．

考點：1．二次函數綜合題；2．等腰直角三角形．