Question

已知△ABC是等邊三角形，點P是AC上一點，PE⊥BC于點E，交AB于點F，在CB的延長線上截取BD=PA，PD交AB于點I，.

（1）如圖1，若，則=       ，=       ；

 

 

（2）如圖2，若∠EPD=60º，試求和的值；

 

 

（3）如圖3，若點P在AC邊的延長線上，且，其他條件不變，則=       .(只寫答案不寫過程)

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）=       ，=   1    ；

    (2)如圖設(shè)PC= a，則PA=an；連BP，且過P作PM⊥AB于M；過P點作PN∥BC交AB于N

     

      可判斷ANP為等邊三角形

      所以AP=PN=AN

      ∴△PNI≌△DBI(AAS)

      ∴IB=

     又∵∠PED=90⁰

       ∴∠D=∠BID= 30⁰

∴BI=BD

=an

∴n=           

      在三角形AMP中可得AM=

       ∴BM=BE=

又DB=PA

∴DE=

又∵∠EPC=∠APF=30⁰ 

而∠CAF=120⁰

∠F=30⁰

AF=AP= an

∴FI=2an+   ∴=== 

     (3) =           

【解析】（1）①由題意，在直角△BEF中，∠F=30°，則BE=BF，又由∠BAC=∠F+∠APF=60°，可得AF=AP=BD=AB，BD=BF，即可得出；

②如圖一，作PG∥BC，IH∥BC，可得IH=FI，易證△PGI≌△DBI，則DI=PI，在△PDE中，IH是中位線，可得IH=DE，即可得出；

（2）連BP，且過P作PM⊥AB于M，過P點作PN∥BC交AB于N，可得ANP為等邊三角形，△PNI≌△DBI（AAS），根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，可得BI=BD，即a=an，即可得出n的值；在△AMP中可得AM=an，BM=BE=a+an-an=a+an，BE=a+an-a=a+an，由∠EPC=∠APF=30°，而∠CAF=120°，∠F=30°，則AF=AP=an，F(xiàn)I=2an+a，即可求出；

（3）根據(jù)（1）的推理原理，即可推出結(jié)果．