Question

10．如圖，四邊形ABCD和ACED都是平行四邊形，B，C，E在一條直線上，點R為DE的中點，BR分別交AC，CD于點P，Q．
（1）則圖中相似三角形（相似比為1除外）共有3對；
（2）求線段BP：PQ：QR，并說明理由．

Answer 1

分析 此題的圖形比較復雜，需要仔細分析圖形．
（1）根據(jù)平行四邊形的性質，可得到角相等．∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，可得△BCP∽△BER；
（2）根據(jù)AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．根據(jù)相似三角形的性質，對應邊成比例即可得出所求線段的比例關系．

解答 解：（1）∵四邊形ACED是平行四邊形，
∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，
∴△BCP∽△BER；
同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，
∴△PCQ∽△RDQ；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAP=∠PCQ，
∵∠APB=∠CPQ，
∴△PCQ∽△PAB；
∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，
∴△PAB∽△RDQ．
綜上所述，圖中相似三角形（相似比為1除外）共有4對．
故答案是：4．

（2）∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，
∴BC=AD=CE，
∵AC∥DE，
∴BC：CE=BP：PR，
∴BP=PR，
∴PC是△BER的中位線，
∴BP=PR，$\frac{PC}{RE}$=$\frac{1}{2}$，
又∵PC∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ．
又∵點R是DE中點，
∴DR=RE．
$\frac{PQ}{QR}$=$\frac{PC}{DR}$=$\frac{PC}{RE}$=$\frac{1}{2}$，
∴QR=2PQ．
又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，
∴BP：PQ：QR=3：1：2．

點評 此題考查了相似三角形的判定和性質：①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．