Question

11．如圖1，在平面直角坐標系中，第一象限內(nèi)長方形ABCD，AB∥y軸，點A（1，1），點C（a，b），滿足$\sqrt{a-5}$+|b-3|=0．

（1）求長方形ABCD的面積．
（2）如圖2，長方形ABCD以每秒1個單位長度的速度向右平移，同時點E從原點O出發(fā)沿x軸以每秒2個單位長度的速度向右運動，設運動時間為t秒．
①當t=4時，直接寫出三角形OAC的面積為3；
②若AC∥ED，求t的值；
（3）在平面直角坐標系中，對于點P（x，y），我們把點P′（-y+1，x+1）叫做點P的伴隨點，已知點A₁的伴隨點為A₂，點A₂的伴隨點為A₃，點A₃的伴隨點為A₄，…，這樣依次得到點A₁，A₂，A₃，…，A_n．
①若點A₁的坐標為（3，1），則點A₃的坐標為（-3，1），點A₂₀₁₄的坐標為（0，4）；
②若點A₁的坐標為（a，b），對于任意的正整數(shù)n，點A_n均在x軸上方，則a，b應滿足的條件為-1＜a＜1，0＜b＜2．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{a-5}$+|b-3|=0，各項非負即可求得C點坐標，結(jié)合圖象，能找出其它幾點的坐標，從而能得出長方形ABCD的面積；
（2）①拆分三角形，求出各個圖形的面積即可求得；
②根據(jù)平移前A、C點的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，找出平移后點D、E的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線DE的一次項系數(shù)k值，由AC∥ED即可得出關于t的分式方程，解之并檢驗后即可得出結(jié)論；
（3）由伴隨點的定義，可以找出數(shù)據(jù)的各個數(shù)值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，由規(guī)律即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-5}$+|b-3|=0，
∴a-5=0，b-3=0，即a=5，b=3，
∵四邊形ABCD為長方形，
∴點B（1，3），點C（5，3），點D（5，1），
∴AB=3-1=2，BC=5-1=4，
長方形ABCD的面積為AB×BC=2×4=8．
（2）①將t=4時，線段AC拿出來，放在圖3中，各字母如圖，

∵點A′（5，1），點C′（9，3），
∴OM=5，ON=9，A′M=1，C′N=3，MN=ON-OM=4，
三角形OA′C′的面積=$\frac{1}{2}$ON•C′N-$\frac{1}{2}$OM•A′M-$\frac{1}{2}$（A′M+C′N）•MN=$\frac{27}{2}$-$\frac{5}{2}$-$\frac{16}{2}$=$\frac{6}{2}$=3．
故答案為：3．
②設長方形平移前直線AC的解析式為y=mx+n，
將A（1，1）、C（5，3）代入y=mx+n，
$\left\{\begin{array}{l}{m+n=1}\\{5m+n=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴長方形平移前直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．
當運動時間為t時，點D（5+t，1），E（2t，0），
設此時直線DE的解析式為y=kx+b₁，
將（5+t，1）、E（2t，0）代入y=kx+b₁，
$\left\{\begin{array}{l}{（5+t）k+_{1}=1}\\{2tk+_{1}=0}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{5-t}$．
∵AC∥ED，
∴k=$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{5-t}$=$\frac{1}{2}$，
解得：t=3，
經(jīng)檢驗，t=3是原方程的解，
故當AC∥ED，t的值為3秒．
（3）①根據(jù)題意可知：A₁（3，1），A₂（0，4），A₃（-3，1），A₄（0，-2），A₅（3，1），
由此發(fā)現(xiàn)此組數(shù)據(jù)以4個為一組進行循環(huán)，
2014÷4=503…2，即A₂₀₁₄=A₂，
故答案為：（-3，1）；（0，4）．
②根據(jù)題意可知：A₁（a，b），A₂（1-b，a+1），A₃（-a，2-b），A₄（b-1，1-a），A₅（a，b），
由此發(fā)現(xiàn)此組數(shù)據(jù)以4個為一組進行循環(huán)，
∵對于任意的正整數(shù)n，點A_n均在x軸上方，則有$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+1＞0}\\{2-b＞0}\\{1-a＞0}\end{array}\right.$，
解得-1＜a＜1，0＜b＜2．
故答案為：-1＜a＜1，0＜b＜2．

點評 本題考查了正方形的面積，平行線的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、兩直線平行或相交以及數(shù)的變換規(guī)律，解題的關鍵是：（1）根據(jù)算術平方根即絕對值的非負性求出a、b值；（2）①拆分三角形，求出各部分圖形的面積②由兩直線平行，找出關于t的分式方程；（3）利用伴隨點的定義找到規(guī)律．