Question

（2013•安陽(yáng)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)O，AE平分∠CAD交BD于點(diǎn)E，∠ABC=α，∠ACB=β，給出下列結(jié)論：①∠DAE=

1

2

β； ②

AD

CB

=

AO

CO

；③∠AEB=

1

2

（α+β）；④∠ACD=180°-（α+β）．其中一定正確的有（　�。�

A．4個(gè)

B．3個(gè)

C．2個(gè)

D．1個(gè)

Answer 1

分析：①先由平行線的性質(zhì)得出∠CAD=∠ACB=β，再根據(jù)角平分線的定義即可證明∠DAE=

1

2

∠CAD，從而判斷①正確；
②先由AD∥BC，得出△AOD∽△COB，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證明

AD

CB

=

AO

CO

，從而判斷②正確；
③先由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠ADB=∠DBC=

1

2

α，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠AEB=∠ADB+∠DAE，從而判斷③正確；
④當(dāng)AB∥CD時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)有∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°，即∠ACD=180°-（α+β），從而判斷④不一定正確．

解答：解：①∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB=β，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE=

1

2

∠CAD=

1

2

β；
故①正確；

②∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴

AD

CB

=

AO

CO

；
故②正確；

③∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC=

1

2

α，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=

1

2

α，
∴∠AEB=∠ADB+∠DAE=

1

2

α+

1

2

β=

1

2

（α+β）；
故③正確；

④如果AB∥CD，那么∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°，即∠ACD=180°-（α+β），
但是AB與CD不一定平行，
故④不一定正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度不大．