Question

16．在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，且c=5$\sqrt{3}$，若關于x的方程（5$\sqrt{3}$+b）x²+2ax+5$\sqrt{3}$-b=0有兩個相等的實數根．
（1）試判斷△ABC的形狀；
（2）若sinA=$\frac{3}{5}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由根的判別式即可得4a²-4（5$\sqrt{3}$+b）（5$\sqrt{3}$-b）=0，得出即a²+b²=（5$\sqrt{3}$）²=c²即可判斷；
（2）由三角函數及勾股定理分別求出a、b的值，即可得答案

解答 解：（1）∵關于x的方程（5$\sqrt{3}$+b）x²+2ax+5$\sqrt{3}$-b=0有兩個相等的實數根，
∴△=0，即4a²-4（5$\sqrt{3}$+b）（5$\sqrt{3}$-b）=0，
∴a²-（5$\sqrt{3}$）²+b²=0，即a²+b²=（5$\sqrt{3}$）²=c²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵c=5$\sqrt{3}$，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴a=csinA=3$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
則△ABC的面積為$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×4$\sqrt{3}$=18．

點評 本題主要考查一元二次方程根的判別式、勾股定理及其逆定理，熟練掌握一元二次方程的根的判別式與勾股定理的逆定理是解題的關鍵．