Question

已知：正方形ABCD的邊長為2，△EFG為等腰直角三角形，∠EGF=90°．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，點(diǎn)E在正方形ABCD的對角線AC上時(shí)．求AE+AF的值；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，點(diǎn)E在線段CA的延長線上時(shí)．通過觀察、計(jì)算，你能發(fā)現(xiàn)AF與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)G在線段DA的延長線上時(shí)，設(shè)AG=x．則線段AE、AF與x有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，點(diǎn)E在正方形ABCD的對角線AC上時(shí)，AE+AF=2

2

，首先利用正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)證明△FDA≌△EDC，由全等的性質(zhì)得到AF=EC，
再利用勾股定理求出AC=2

2

，所以AE+AF=AE+EC=AC=2

2

；
（2）當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，點(diǎn)E在線段CA的延長線上時(shí)，AF-AE=2

2

，首先利用正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)證明△FDA≌△EDC，由全等的性質(zhì)得到AF=EC，∴AF-AE=EC-AE=AC=2

2

；
（3）當(dāng)點(diǎn)G在線段DA的延長線上時(shí)，設(shè)AG=x，AE-AF=

2

x，過點(diǎn)G作GH⊥AG，交AE于點(diǎn)H，利用已知條件首先證明△FGA≌△EGH，所以AE-AF=AE-EH=AH，在Rt△GAH中，根據(jù)勾股定理得到AH=

AG2+AH2

=

2

x，所以AE-AF=

2

x．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵△GEF為等腰直角三角形，
∴GF=GE，∠EGF=90°，
∴∠FDA=∠CDE，
∴△FDA≌△EDC（SAS） 
∴AF=EC，
∵根據(jù)勾股定理：AC=2

2

∴AE+AF=AE+EC=AC=2

2

；
（2）AF-AE=2

2

，
∵四邊形ABCD為正方形
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵△GEF為等腰直角三角形，
∴GF=GE，∠EGF=90°，
∴∠FDA=∠CDE，
∴△FDA≌△EDC（SAS），
∴AF=EC
∴AF-AE=EC-AE=AC=2

2

；
（3）AE-AF=

2

x，
過點(diǎn)G作GH⊥AG，交AE于點(diǎn)H，
∴∠HGA=90°，
∵AC為正方形對角線，
∴∠GAE=45°
∴△GAH為等腰直角三角形，
∴HG=AG，
又∵GF=GE，∠EGF=90°，
∴∠EGH=∠FGA，
∴△FGA≌△EGH（SAS），
∴EH=AF，
∴AE-AF=AE-EH=AH，
在Rt△GAH中，根據(jù)勾股定理：
∴AH=

AG2+AH2

=

2

x，
∴AE-AF=

2

x．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定以及勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度不小，特別是第三小題正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．