Question

問題：在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

1

2

x+5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，交直線y=x-1于點(diǎn)C．過點(diǎn)A作y軸的平行線交直線y=x-1于點(diǎn)D．點(diǎn)E為線段AD上一點(diǎn)，且tan∠DCE=

1

2

．點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)沿OA邊向點(diǎn)A勻速移動，同時(shí)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿BO邊向原點(diǎn)O勻速移動，點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)和O點(diǎn)，設(shè)BQ=m．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）在整個(gè)移動過程中，是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使得△PQD為直角三角形？若存在這樣的實(shí)數(shù)m，求m的值；若不存在，請說明理由；
（3）函數(shù)y=

k

x

經(jīng)過點(diǎn)C，R為y=

k

x

上一點(diǎn)，在整個(gè)移動過程中，若以P、Q、E、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求R點(diǎn)的坐標(biāo)．
要求：①解答上面問題；
②根據(jù)你對上面問題的解答，任意選擇其中一問，說出你的主要解題思路．

Answer 1

分析：（1）設(shè)CE交AD于點(diǎn)E，作EF⊥OA于F．直線y=-

1

2

x+5中我們可以求出與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出OA、OB的長度，可以得到tan∠OAB=

1

2

可以求出直線y=x-1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，得到△ADG是個(gè)等腰直角三角形，利用三角形相似，求出DE的長，從而求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)△PQD是直角三角形時(shí)，就有△OQP∽△APD，利用對應(yīng)邊成比例可以求出m的值．
（3）因?yàn)镻ERQ是平行四邊形，∴就有對邊QR=PE，連接對角線就可以證明∠1=∠2，從而證明∠5=∠EPA，利用三角形全等求出線段的長度求出R的坐標(biāo)．

解答：解：（1）作CF⊥OA于F
∵y=-

1

2

x+5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=5，即OB=5
當(dāng)y=0時(shí)，x=10，即OA=10
∴tan∠OAB=

1

2

∵tan∠DCE=

1

2

∴∠OAB=∠DCE
設(shè)直線OD交坐標(biāo)軸分別于點(diǎn)G、H，當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，即OH=1
當(dāng)y=0時(shí)，x=1，即OG=1
∴OG=OH，
∴∠OGH=45°
∴∠GDA=∠GAD=45°，在y=x-1中，當(dāng)x=10時(shí)，y=9
∴AD=9
∴GD=9

2

∵y=-

1

2

x+5與y=x-1相交于點(diǎn)C，求得C點(diǎn)坐標(biāo)為：C（4，3）
∴CF=3，∴GC=3

2

，
∴CD=6

2

∵△GCA∽△DEC
∴

GC

DE

=

GA

DC

∴

3 2

DE

=

9

6 2

∴DE=4，∴AE=5
∵AD⊥x軸
∴E（10，5）；

（2）∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)分別從B點(diǎn)和O點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)和O點(diǎn)，且OA是OB的2倍
∴P點(diǎn)運(yùn)動的速度是Q點(diǎn)的2倍
∵QB=m，
∴OP=2m
∴QO=5-m，PA=10-2m
∵△PQD為直角三角形
∴△QOP∽△PAD
∴

QO

PA

=

OP

AD

∴

5-m

10-2m

=

2m

9

解得：m₁=5，m₂=

9

4

；
當(dāng)m=1時(shí)，∠DQP=90°．

（3）過點(diǎn)R作HR∥OA交OB于點(diǎn)H，連接PR
∴∠DRP=∠OAR，∠3=∠4
∵四邊形RQPE是平行四邊形，
∴∠3=∠4，∠QRE=∠QPE，QR=AE
∴∠2=∠1
∴∠5=∠EPA
∴△RHQ≌△PAE
∴RH=PA，QH=AE
∴RH=10-2m，HQ=5
∵函數(shù)y=

k

x

經(jīng)過點(diǎn)C
∴k=12
y=

12

x

，設(shè)R坐標(biāo)為（a，b）
∴HO=5+5-m=10-m，HR=10-2M
∴a=10-2m，b=10-m
∴（10-2m）（10-m）=12
∴m₁=11（不符合題意），m₂=4
∴a=2，b=6
∴R（2，6）．

點(diǎn)評：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)．