Question

如圖①，將一個內(nèi)角為120°的菱形紙片沿較長對角線剪開，得到圖②的兩張全等的三角形紙片．將這兩張三角形紙片擺放成圖③的形式．點B、F、C、D在同一條直線上，AB分別交DE、EF于點P、M，AC交DE于點N．

（1）求證：△APN≌△EPM．
（2）連接CP，試確定△CPN的形狀，并說明理由．
（3）當(dāng)P為AB的中點時，求△APN與△DCN的面積比．

Answer 1

（1）證明見解析（2）直角三角形，理由見解析（3）△APN與△DCN的面積比為3:1

（1）由菱形性質(zhì)得∠A=∠B=∠D=∠E，  ∴PB=PD． ………………1分
∵AB=DE，∴PA=PE．………………………………………………………2分
∵∠EPM=∠APN，
∴△APN≌△EPM．………………………………………………………3分
（2）∵∠ACB=∠DFE=120°，AC=BC=DF=FE，
∴∠D=∠A=∠B=30°．∴∠ACD=60°．………………………5分
∴∠CNP=90°
∴△CPN是直角三角形…………………………………………………………6分
（3）∵CA=CB，P為AB中點，∴∠ACP=60° ……………………………………7分
在Rt△CPN中，∴PN:CN=tan60°=:1．………………………………8分
∵∠D=∠A，∠APN=∠DNC， ∴△ANP∽△DNC．
∴．
即△APN與△DCN的面積比為3:1．……………………………………………9分
（1）我們可以利用菱形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法AAS判定△APN≌△EPM．
（2）求出∠D、∠ACD的度數(shù)，從而得出∠CNP=90°，從而得出△CPN是直角三角形；
（3）要求△APN與△DCN的面積比，我們可以根據(jù)菱形的性質(zhì)及已知，得到PN：CN=，根據(jù)相似三角形的判定，得到△ANP∽△DNC，即△APN與△DCN的面積比為3：1．