Question

如圖△ABC和△AEF中，AB=AC，AF=AE，∠BAC=∠EAF，F(xiàn)C，BE交于M，連接AM．
①如圖1，若∠BAC=∠EAF=90°，則∠AME=________；
②如圖2，若∠BAC=∠EAF=60°，則∠AME=________；
③如圖3，若∠BAC=∠EAF=α，則∠AME=________，請證明你的結(jié)論．

Answer 1

135°    120°    90°+α
分析：①由∠BAC=∠EAF得∠FAC=∠EAB，并且AB=AC，AF=AE，∠BAC=∠EAF=90°，得到∠ACB=45°，易證△AFC≌△AEB，則∠ACF=∠ABE，則點A、B、C、M共圓，得到∠AMB=∠ACB=45°，于是得到∠AME=135°；
②同①一樣，只是∠BAC=∠EAF=60°，得到∠ACB=60°，則∠AMB=∠ACB=60°，于是得到∠AME=120°；
③證明方法與①一樣，∠AMB=∠ACB，∠BAC=∠EAF=α，則∠ACB=（180°-α）=90°-α，則∠AMB=90°-α，根據(jù)平角的定義得到∠AME=180°-∠AMB，得到∠AME=90°+α．
解答：①∵∠BAC=∠EAF，
∴∠FAC=∠EAB，
∵AB=AC，AF=AE，
∴△AFC≌△AEB，
∴∠ACF=∠ABE，
∴點A、B、C、M共圓，
∴∠AMB=∠ACB，
而∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠AME=180°-45°=135°．
故答案為135°；
（2）與②證明方法一樣得到∠AMB=∠ACB，
而∠BAC=60°，
∴∠ACB=60°，
∴∠AME=180°-60°=120°，
故答案為120°；
③∠AME=90°+α．理由如下：
∵∠BAC=∠EAF=α，
∴∠FAC=∠EAB，
又∵AB=AC，AF=AE，
∴△AFC≌△AEB，
∴∠ACF=∠ABE，
∴點A、B、C、M共圓，
∴∠AMB=∠ACB，
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ACB=（180°-α）=90°-α，
∴∠AMB=90°-α，
∴∠AME=180°-（90°-α）=90°+α．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩組邊對應(yīng)相等，并且它們的夾角也相等的兩三角形全等；全等三角形的對應(yīng)角相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及四點共圓的判定與性質(zhì)．