Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，8）．
（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)G，使以點(diǎn)G、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△COE相似，請直接寫出符合要求的，并在第一象限的點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）將拋物線沿其對稱軸平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)．試探究：拋物線向上最多可平移多少個單位長度？

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4），把C的坐標(biāo)代入即可求出a的值，再化成頂點(diǎn)式即可；
（2）求出E點(diǎn)坐標(biāo)，過C作CG∥x軸交BF于G，根據(jù)C的坐標(biāo)求出G的坐標(biāo)；當(dāng)是（4，4）時兩三角形全等即相似，當(dāng)是（8，8）時符合相似三角形的判定，即兩三角形相似．綜合上述共有3個點(diǎn)；
（3）拋物線向上平移，可設(shè)解析式為y=-x²+2x+8+m，把x=4或-8代入即可列出不等式，即可求出答案．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4），
把C（0，8）代入得a=-1．
∴y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
頂點(diǎn)D（1，9）；

（2）∵C（0，8），D（1，9）；
代入直線解析式y(tǒng)=kx+b，
∴

b=8 k+b=9

，
解得：

k=1 b=8

，
∴y=x+8，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（-8，0），
∵B（4，0），
∴x=4時，y=4+8=12，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，12），
∴EO=8，
如圖1，作CG∥x軸交BF于G，
∵CG∥EO，
∴△FCG∽△CEO，
∵EO=CO，
∴CG=FG，
∴G（4，8），
如圖2，當(dāng)G點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4）時，兩三角形全等即相似，
如圖3，當(dāng)G點(diǎn)坐標(biāo)為（8，8）時符合相似三角形的判定，
故以點(diǎn)G、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△COE相似的第一象限的點(diǎn)G的坐標(biāo)為：G（4，8），G（8，8），G（4，4）；

（3）由上求得E（-8，0），F(xiàn)（4，12）．
拋物線向上平移，可設(shè)解析式為y=-x²+2x+8+m（m＞0）．
當(dāng)x=-8時，y=-72+m．
當(dāng)x=4時，y=m．
∴-72+m≤0或m≤12．
∴0＜m≤72．
∴向上最多可平移72個單位長．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計算，此題綜合性強(qiáng)，有一定的難度．