Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別為邊AB，CD的中點，BD⊥AD．
（1）求證：四邊形BEDF是菱形；
（2）作AG⊥CB于G，若AD=1，AG=2，求sinC的值；
（3）若（2）中的四邊形AGCD為一不可卷折的板材，問該板材能否通過一直徑為1.8的圓洞門？請計算說明．

Answer 1

（1）證明：在平行四邊形ABCD中，DC=AB，DC∥AB，
∴E，F分別是AB，CD的中點，
∴DF=BE，DF∥BE，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
又∵BD⊥AD，
所以DE=AB=BE，
∴四邊形BEDF是菱形；

（2）解：由題意：DB⊥BC，
∴DB∥AC，又AD∥CG，
∴四邊形AGBD是矩形，
∴DB=AG=2．
在平行四邊形ABCD中，BC=AD=1，
∴CD==，
∴sinC===；

（3）解：由（2）知，BG=AD=BC=1，
∴GC=2，
∴AG=GC=2＞1.8，
作GH⊥CD于H．在直角△GCH中，GH=GC•sinC=2×≈1.79＜1.8，
∴四邊形能夾在平行于CD，且兩者之間距離不足1.8的平行線之間．
∴該板材可以通過直徑是1.8的圓洞口．
分析：（1）根據平行線的判定定理，證明對角線互相垂直的平行四邊形是平行四邊形是菱形，即可判斷；
（2）首先可以證得：四邊形AGBD是矩形，然后根據勾股定理即可求解；
（3）利用三角函數求得GH的長度，然后與1.8比較大小，即可判斷．
點評：本題考查了平行四邊形的性質，以及三角函數，正確求得CD的長是關鍵．