Question

試求出所有滿足下列條件的正整數a，b，c，d，其中1＜a＜b＜c＜d，且abcd-1是（a-1）•（b-1）•（c-1）•（d-1）的整數倍．

Answer 1

【答案】分析：首先由abcd-1是（a-1）•（b-1）•（c-1）•（d-1）的整數倍得出，設k=，確定k的取值范圍，
再分別確定a，b，c，d的取值．
解答：解：設k=，則由題意，k為正整數，
∴a，b，c，d都是奇數或都是偶數，
且1＜k＜×，
又易證：對于任意的正整數m，n且m＞1，有，
∵1＜a＜b＜c＜d，
∴當a≥5時，，，，，
∴1＜k＜=2，
即1＜k＜2，
這是不可能的，∴1＜a≤4，
當a=4時，則b，c，d都是偶數，從而k為奇數，
∴b≥6，c≥8，d≥10，k≥3，
∴3≤k＜=＜3，
即3≤k＜3，這是不可能的．
當a=3時，則b，c，d都是奇數，
∴b≥5，c≥7，d≥9，
∴1≤k＜=＜3，
∴k=2，
若b=7，則k=，于是分子不是3的倍數，而分母是3的倍數．
從而k不是整數，∴b≠7，
若b≥9，則由于c-1，d-1都不是3的倍數，
∴2=k＜=2，這是不可能的，
∴a=3時，k=2，b=5，
∴2=cd-16c-16d+17=0，
∴（c-16）（d-16）=239為質數，
∴c-16=1，d-16=239，
∴a=3，b=5，c=17，d=255是符合題意的一組值．
當a=2時，b，c，d為偶數．k為奇數，
∴3≤k＜2×=＜4，
∴k=3，
∴2bcd-1=3（b-1）（c-1）（d-1），
∴bcd不是3的倍數．
若b≠4，則b≥8，c≥10，d≥14，于是k＜2×=＜3，
k=3矛盾，∴a=2時，b=4，k=3，
∴3=，
∴（c-9）（d-9）=71為質數，
∴c-9=1，d-9=71，
∴a=2，b=4，c=10，d=80是符合題意的另一組值．
綜上所述，所以滿足條件的正整數解a，b，c，d有兩組解．
和．
點評：此題主要考查了數的整除性的性質，以及利用參數確定未知數取值范圍和質數的定義等有關知識．