Question

【題目】如圖，在中，D是邊AB的中點(diǎn)，E是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交邊BC于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)B、C不重合），延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使，連接EF、AG，已知，，．

（1）試說(shuō)明；

（2）請(qǐng)你連接EG，設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)是以BF為腰的等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng)，不必說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）；（3）AE的長(zhǎng)度為或

【解析】

（1）由D是AB中點(diǎn)知AD=DB，結(jié)合DG=DF，∠ADG=∠BDF即可證得，從而可得結(jié)論；

（2）連接EG．根據(jù)垂直平分線(xiàn)的判定定理即可證明EF=EG,由△ADG≌△BDF，推出∠GAB=∠B，推出∠EAG=90°，可得EF2=（8-x）2+y2，EG2=x2+（6-y）2，根據(jù)EF=EG，可得（8-x）2+y2=x2+（6-y）2，由此即可解決問(wèn)題；

（3）如圖2中，分兩種情況討論即可．①當(dāng)BF=DB時(shí)．②當(dāng)DF=FB時(shí)，連接DC，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，想辦法求出y的值，再利用（2）的結(jié)論即可解決問(wèn)題．

（1）∵D是AB中點(diǎn)，

∴，

∵，

∴，

∴．

（2）如圖，連接EG．

∵DG=FD，DF⊥DE，

∴EF=EG．

∵，，

∴，

又∵，

∴，

∴是直角三角形，且，

∴，

由（1）知

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

（3）如圖2中，

①當(dāng)BF=DB時(shí)，6-y=5，

∴y=1，1=，

∴x=，即AE=．

②當(dāng)DF=FB時(shí)，連接DC，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，則DF=FB=6-y，

∵∠ACB=90°，D是AB中點(diǎn)，

∴DC=DB=5，

∵DH⊥BC，BC=6，

∴CH=BH=3，

∴FH=3-y，

∵DH⊥BC，由勾股定理可得DH=4，

在Rt△DHF中，（6-y）2=42+（3-y）2，

解得y=，

∴=，

解得x=，即AE=.

綜上所述，AE的長(zhǎng)度為或．