Question

（2013•南寧）如圖，拋物線y=ax²+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，-1）兩點(diǎn)，并與直線y=kx交于A、B兩點(diǎn)，直線l過點(diǎn)E（0，-2）且平行于x軸，過A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求證：AO=AM；
（3）探究：
①當(dāng)k=0時(shí)，直線y=kx與x軸重合，求出此時(shí)

1

AM

+

1

BN

的值；
②試說明無論k取何值，

1

AM

+

1

BN

的值都等于同一個(gè)常數(shù)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a、c，即可得解；
（2）根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后求出AO、AM的長(zhǎng)，即可得證；
（3）①k=0時(shí)，求出AM、BN的長(zhǎng)，然后代入

1

AM

+

1

BN

計(jì)算即可得解；
②設(shè)點(diǎn)A（x₁，

1

4

x₁²-1），B（x₂，

1

4

x₂²-1），然后表示出

1

AM

+

1

BN

，再聯(lián)立拋物線與直線解析式，消掉未知數(shù)y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x₁+x₂，x₁•₂，并求出x₁²+x₂²，x₁²•x₂²，然后代入進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：（1）解：∵拋物線y=ax²+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，-1），
∴

4a+c=0 c=-1

，
解得

a= 1 4 c=-1

，
所以，拋物線的解析式為y=

1

4

x²-1；

（2）證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，

1

4

m²-1），
則AO=

m2+( 1 4 m2-1)2

=

1

4

m²+1，
∵直線l過點(diǎn)E（0，-2）且平行于x軸，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-2，
∴AM=

1

4

m²-1-（-2）=

1

4

m²+1，
∴AO=AM；

（3）解：①k=0時(shí)，直線y=kx與x軸重合，點(diǎn)A、B在x軸上，
∴AM=BN=0-（-2）=2，
∴

1

AM

+

1

BN

=

1

2

+

1

2

=1；

②k取任何值時(shí)，設(shè)點(diǎn)A（x₁，

1

4

x₁²-1），B（x₂，

1

4

x₂²-1），
則

1

AM

+

1

BN

=

1

1 4 x 2 1 +1

+

1

1 4 x 2 2 +1

=

4( x 2 1 +4 +x 2 2 +4)

(x 2 1 +4) (x 2 2 +4)

=

4( x 2 1 +x 2 2 +8)

x 2 1 • x 2 2 +4 (x 2 1 +x 2 2 )+16

，
聯(lián)立

y=kx y= 1 4 x2-1

，
消掉y得，x²-4kx-4=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4，
所以，x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=16k²+8，
x₁²•x₂²=16，
∴

1

AM

+

1

BN

=

4(16k2+8+8)

16+4(16k2+8)+16

=

64(k2+1)

64(k2+1)

=1，
∴無論k取何值，

1

AM

+

1

BN

的值都等于同一個(gè)常數(shù)1．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理以及點(diǎn)到直線的距離，根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后用含有k的式子表示出

1

AM

+

1

BN

是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)，計(jì)算量較大，要認(rèn)真仔細(xì)．