Question

【題目】等腰直角三角形OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB，點(diǎn)D為OA中點(diǎn)，DC⊥OB，垂足為C，連接BD，點(diǎn)M為線段BD中點(diǎn)，連接AM、CM，如圖①．

（1）求證：AM＝CM；

（2）將圖①中的△OCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，連接BD，點(diǎn)M為線段BD中點(diǎn)，連接AM、CM、OM，如圖②．

①求證：AM＝CM，AM⊥CM；

②若AB＝4，求△AOM的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析，②2

【解析】

（1）直接利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可得出結(jié)論；

（2）①延長(zhǎng)CM交OB于T，先判斷出△CDM≌△TBM得出CM＝TM，DC＝BT＝OC，進(jìn)而判斷出△OAC≌△BAT，得出AC＝AT，即可得出結(jié)論；

②先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出再求出OD，DC＝CO＝，再用勾股定理得出CT，進(jìn)而判斷出CM＝AM，得出AM＝OM，進(jìn)而求出ON，再根據(jù)勾股定理求出MN，即可得出結(jié)論．

解：（1）證明：∵∠OAB＝90°，

∴△ABD是直角三角形，

∵點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，

∴AM＝BD，

∵DC⊥OB，

∴∠BCD＝90°，

∵點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，

∴CM＝BD，

∴AM＝CM；

（2）①如圖②，

在圖①中，∵AO＝AB，∠OAB＝90°，

∴∠ABO＝∠AOB＝45°，

∵DC⊥OB，

∴∠OCD＝90°，

∴∠ODC＝∠AOB，

∴OC＝CD，

延長(zhǎng)CM交OB于T，連接AT，

由旋轉(zhuǎn)知，∠COB＝90°，DC∥OB，

∴∠CDM＝∠TBM，

∵點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，

∴DM＝BM，

∵∠CMD＝∠TMB，

∴△CDM≌△TBM（ASA），

∴CM＝TM，DC＝BT＝OC，

∵∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝45°＝∠ABO，

∵AO＝AB，

∴△OAC≌△BAT（SAS），

∴AC＝AT，∠OAC＝∠BAT，

∴∠CAT＝∠OAC+∠OAT＝∠BAT+∠OAT＝∠OAB＝90°，

∴△CAT是等腰直角三角形，

∵CM＝TM，

∴AM⊥CM，AM＝CM；

②如圖③，在Rt△AOB中，AB＝4，

∴OA＝4，OB=＝AB＝4，

在圖①中，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，

∴OD＝OA＝2，

∵△OCD是等腰直角三角形，

∴DC＝CO＝ODsin45°=＝，

由①知，BT＝CD，

∴BT＝，

∴OT＝OB﹣TB＝3，

在Rt△OTC中，CT＝＝2，

∵CM＝TM＝CT＝＝AM，

∵OM是Rt△COT的斜邊上的中線，

∴OM＝CT＝，

∴AM＝OM，

過點(diǎn)M作MN⊥OA于N，則ON＝AN＝OA＝2，

根據(jù)勾股定理得，MN＝＝1，

∴S△AOM＝OAMN＝×4×1＝2．