Question

【題目】如圖：已知等邊三角形ABC，D為AC邊上的一動點，CD=nDA，連線段BD，M為線段BD上一點，∠AMD=60°，AM交BC于E．
（1）若n=1，則= ． =；
（2）若n=2，求證：BM=6DM；
（3）當n=時，M為BD中點．
（直接寫結果，不要求證明）

Answer 1

【答案】（1）解：當n=1時，CD=DA，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BD⊥AC，∠BAC=60°，
∴∠ADM=90°，
又∵∠AMD=60°，
∴∠MAD=30°，
∴∠BAE=∠BAC﹣∠MAD=30°，即∠BAE=∠EAD，
∴AE為△ABC的中線，
∴=1；
在△AMD中，MD=AM，（30°角所對的直角邊等于斜邊的一半）
∵∠BAM=∠ABM=30°，
∴AM=BM，
∴=2．
（2）證明：∠AMD=∠ABD+∠BAE=60°
∠CAE+∠BAE=60°
∴∠ABD=∠CAE
又∵BA=CA，∠BAD=∠ACE=60°
∴△BAD≌△ACE（ASA）
∴AD=CE∴CD=BE
作CF∥BD交AE于F，
∴===①，==②，
∴①×②得== ，
∴BM=6DM．
（3）解：∵M為BD中點，
∴BM=MD，
∵△BAD≌△ACE（ASA）
∴AD=CE
∴CD=BE
∵△AMD∽△ACE，△BME∽△BCD
∴AD=③，DC=④，
③④得CD=AD，
∴n= ．
【解析】此題為考查三角形中線段的倍數(shù)關系，相關知識點的綜合應用能力，解題關鍵在如何作輔助線．
（1）CD=nDA，當n=1時，CD=DA，據(jù)等邊三角形ABC的三線合一，可以得出∠BDA=90°，由∠AMD=60°，可得∠EAD=30°，
又∠BAC=60°，可得∠BAE=30°，AE為∠BAC的角平分線．依據(jù)三線合一可得BE=EC．容易得AM=2MD，AM=BM．問題得到解決．
（2）若n=2，則CD=2DA，△ABC是等邊三角形，∠AMD=60°，可證明△BAD≌△ACE，得AD=CE，CD=BE；作輔助線CF∥BD交AE于F，可得===①，==②，觀察①②的乘積，可得BM、DM的數(shù)量關系．
（3）由M為BD中點，可知BM=MD．由∠AMD=60°，△ABC為等邊三角形，可得△AMD∽△ACE，△BME∽△BCD，由相似三角形對應邊成比例，可得AD=，DC=，運用比例的性質合理變形，問題可求．
【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的性質和平行線分線段成比例的相關知識點，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例才能正確解答此題．