Question

如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，2），點M（m，n）是拋物線上一動點，位于對稱軸的左側，并且不在坐標軸上，過點M作x軸的平行線交y軸于點Q，交拋物線于另一點E，直線BM交y軸于點F．

（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點坐標；

（2）當S△MFQ：S△MEB=1：3時，求點M的坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），

∴，

解得，

∴y=﹣x2+x+2，

∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣3x+）++2=﹣（x﹣）2+，

∴頂點坐標為（，）；

（2）∵M（m，n），

∴Q（0，n），E（3﹣m，n），

設直線BM的解析式為y=kx+b（k≠0），

把B（4，0），M（m，n）代入得，

解得，

∴y=x+，

令x=0，則y=，

∴點F的坐標為（0，），

∴MQ=|m|，F(xiàn)Q=|﹣n|=||，ME=|3﹣m﹣m|=|3﹣2m|，

∴S△MFQ=MQ•FQ=|m|•||=||，

S△MEB=ME•|n|=•|3﹣2m|•|n|，

∵S△MFQ：S△MEB=1：3，

∴||×3=•|3﹣2m|•|n|，

即||=|3﹣2m|，

∵點M（m，n）在對稱軸左側，

∴m＜，

∴=3﹣2m，

整理得，m2+11m﹣12=0，

解得m1=1，m2=﹣12，

當m1=1時，n1=﹣×12+×1+2=3，

當m2=﹣12時，n2=﹣×（﹣12）2+×（﹣12）+2=﹣88，

∴點M的坐標為（1，3）或（﹣12，﹣88）．