Question

如圖，拋物線y=ax²-5ax+4經(jīng)過△ABC的三個頂點，已知BC∥x軸，點A在x軸的負半軸上，點C在y軸上，且AC=BC．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）求A點坐標并求拋物線的解析式；
（3）若點P在x軸下方且在拋物線對稱軸上的動點，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點P坐標；不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題須根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式即可求出結(jié)果．
（2）本題須先求出C點的坐標，再根據(jù)BC兩點關(guān)于對稱軸x=

5

2

對稱，求出B點的坐標，設(shè)A點坐標（m，0），求出m即可得出點A的坐標，最后代入即可求出拋物線解析式．
（3）本題須先根據(jù)題意畫出圖形，再分別根據(jù)圖形求出相應(yīng)的點P的坐標即可．

解答：解：（1）y=ax²-5ax+4，
對稱軸：x=-

-5a

2a

=

5

2

；

（2）經(jīng)過△ABC的三個頂點，已知BC∥x軸，點A在x軸上，點C在y上，且AC=BC，
令x=0，y=4，可知C點坐標（0，4），
BC∥x軸，所以B點縱坐標也為4，
又∵BC兩點關(guān)于對稱軸x=

5

2

對稱，
即：

xB+0

2

=

5

2

，
x_B=5，
∴B點坐標（5，4）．
A點在x軸上，設(shè)A點坐標（m，0），
AC=BC，即AC²=BC²，
AC²=4²+m²，
BC=5，
∴4²+m²=5²，
∴m=±3，
∴A點坐標（-3，0），
將A點坐標之一（-3，0）代入y=ax²-5ax+4，
0=9a+15a+4，
a=-

1

6

，
y=-

1

6

x²+

5

6

x+4；
將A點坐標是（3，0），則與A在x軸的負半軸矛盾，故舍去．
故函數(shù)關(guān)系式為：y=-

1

6

x²+

5

6

x+4．

（3）存在符合條件的點P共有3個．以下分三類情形探索．
設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于N，與CB交于M．
過點B作BQ⊥x軸于Q，
易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=

5

2

．
①以AB為腰且頂角為角A的△PAB有1個：△P₁AB．
∴AB²=AQ²+BQ²=8²+4²=80（8分）
在Rt△ANP₁中，P₁N=

AP12-AN2

=

AB2-AN2

=

80-(5.5)2

=

199

2

，
∴P₁（

5

2

，-

199

2

）．（9分）
②以AB為腰且頂角為角B的△PAB有1個：△P₂AB．
在Rt△BMP₂中MP₂=

B P 2 2 -BM2

=

AB2-BM2

=

80- 25 4

=

295

2

，（10分）
∴P₂=（

5

2

，

8- 295

2

）．（11分）
③以AB為底，頂角為角P的△PAB有1個，即△P₃AB．
畫AB的垂直平分線交拋物線對稱軸于P₃，此時平分線必過等腰△ABC的頂點C．
過點P₃作P₃K垂直y軸，垂足為K，顯然Rt△P₃CK∽Rt△BAQ．
∴

P3K

CK

=

BQ

AQ

=

1

2

．
∵P₃K=2.5
∴CK=5于是OK=1，（13分）
∴P₃（2.5，-1）．
④以B為頂點時，交于x軸上方，求得P（

5

2

，

8+ 295

2

）（舍去）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，在解題時要注意綜合運用數(shù)形結(jié)合思想，靈活應(yīng)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．