Question

已知：如圖，以正方形ABCD的邊AB為直徑作半圓，圓心為O，CG切半圓O于點E，交AD于點F，交BA的延長線于點G．已知AE、BE的長是關(guān)于x的方程x²－6x＝－2m的兩個實數(shù)根．

(1)用含m的代數(shù)式表示CE的長；

(2)求m的值和EF的長．

Answer 1

答案：
解析：

解：(見模答圖) 　　(1)∵四邊形ABCD是正方形， 　　∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠DAB＝∠D＝． 　　∵AB是半圓O的直徑， 　　∴BC切半圓O于點B． 　　∵CG切半圓O于點E， 　　∴CE＝CB＝AB． 　　∵AE、BE的長是關(guān)于x的方程x2－6x＝－2m的兩個實數(shù)根， 　　∴ 　　∴0＜m≤． 　　∵AB是半圓O的直徑， 　　∴∠AEB＝． 　　∴AB2＝AE2＋BE2 　�。�(AE＋BE)2－2AE·BE 　�。�36－4m＞0． 　　∴AB＝2(0＜m≤)． 　　∴CE＝2(0＜m≤)． 　　(2)連結(jié)OC交BE于點H． 　　∵CE、BC是半圓O的切線， 　　∴CE＝BC，∠1＝∠2． 　　∴OC⊥BE，EH＝BH． 　　∴∠BHC＝∠AEB＝． 　　在△AEB和△BHC中， 　　 　　∴△ABE≌△BCH． 　　∴AE＝BH＝EH． 　　∵AE＋BE＝6， 　　∴AE＝2，BE＝4． 　　∴AB2＝AE2＋BE2＝20． 　　∴36－4m＝20． 　　∴m＝4且滿足0＜m≤，符合題意． 　　∴m＝4． 　　∵∠DAB＝，AB是半圓O的直徑， 　　∴AD切半圓O于點A． 　　∵CG切半圓O于點E　　CG交AD于點F， 　　∴AF＝EF．設(shè)AF＝EF＝k(k＞0)． 　　∵AD＝CD＝BC＝AB＝＝2， 　　∴CE＝AB＝2． 　　∴DF＝2－k，CF＝2＋k． 　　∵CF2＝CD2＋DF2， 　　∵(2＋k)2＝20＋(2－k)2． 　　解得k＝．∴EF＝．