Question

已知：∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°．

（1）如圖1，當∠B=∠D時，求證：AB+AD=AC；
（2）如圖2，當∠B≠∠D時，猜想（1）中的結論是否發(fā)生改變并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠B=∠D，∠B+∠D=180°，可以求出∠B與∠D都是直角，再根據(jù)∠DAB=120°，AC平分∠DAB求出∠DAC=∠BAC=60°，然后根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到AC=2AD，AC=2AB，整理即可得解；
（2）不會改變．過點C作CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分別為E、F，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CE=CF，根據(jù)（1）的結論有AC=AE+AF，然后再證明△CDE與△CBF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等得到DE=BF，從而得到AB+AD=AE+AF，進而得解．

解答：（1）證明：∵∠B=∠D，∠B+∠D=180°，
∴∠B=∠D=90°，
∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠ACB=90°-60°=30°，
∴AC=2AD，AC=2AB，
∴2AB+2AD=2AC，
∴AB+AD=AC；

（2）猜想：不會改變．
理由如下：過點C作CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分別為E、F，
根據(jù)（1）的結論，AB+AD=AC，
∵AC平分∠DAB，
∴CE=CF，
∵∠B+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠D=∠CBF，
在△CDE與△CBF中，

∠D=∠CBF ∠CED=∠CFB=90° CE=CF

，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴DE=BF，
∴AD+AB=AE+DE+AB=AE+BF+AB=AE+AF，
∴AD+AB=AC．
即（1）中的結論沒有發(fā)生改變．

點評：本題主要考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，全等三角形的判定與性質，（2）中作出輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．