Question

已知：如圖，∠MAN為銳角，AD平分∠MAN，點(diǎn)B，點(diǎn)C分別在射線AM和AN上，AB=AC．
（1）若點(diǎn)E在線段CA上，線段EC的垂直平分線交直線AD于點(diǎn)F，直線BE交直線AD于點(diǎn)G，求證：∠EBF=∠CAG；
（2）若（1）中的點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到線段CA的延長(zhǎng)線上，（1）中的其它條件不變，猜想∠EBF與∠CAG的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）如圖1，連接EF、CF，
∵EC的垂直平分線交直線AD，
∴EF=CF，
∴∠FEC=∠FCE．
∵AD平分∠MAN，
∴∠BAF=∠CAF．
在△AFB和△AFC中

∴△AFB≌△AFC（SAS），
∴∠ABF=∠ACF，
∴∠ABF=∠FCE．
∵∠FEC+∠FEA=180°，
∴∠ABF+∠AEF=180°，
∴A、B、F、E四點(diǎn)共圓，
∴∠EBF=∠CAG；
（2）∠EBF+∠CAG=180°
理由：如圖2，連接EF、CF，
∵EC的垂直平分線交直線AD，
∴EF=CF，
∴∠FEC=∠FCE．
∵AD平分∠MAN，
∴∠BAF=∠CAF．
在△AFB和△AFC中

∴△AFB≌△AFC（SAS），
∴∠ABF=∠ACF，
∴∠ABF=∠FCE．
∴∠ABF=∠FCE
∴A、B、F、E四點(diǎn)共圓，
∴∠EBF=∠FAC．
∵∠FAC+∠CAG=180°，
∴∠EBF+∠CAG=180°．
分析：（1）如圖1，連接EF、CF，由中垂線的性質(zhì)就可以得出EF=CF．就有∠FEC=∠FCE，由△AFB≌△AFC就可以得出∠ABF=∠ACF，由∠FEC+∠FEA=180°就可以得出∠ABF+∠AEF=180°，得出A、B、F、E四點(diǎn)共圓，近而得出∠EBF=∠CAG；
（2）如圖2，連接EF、CF，由中垂線的性質(zhì)就可以得出EF=CF．就有∠FEC=∠FCE，由△AFB≌△AFC就可以得出∠ABF=∠ACF，就有∠AEF=∠ABF，近而得出A、B、F、E四點(diǎn)共圓，就有∠EBF=∠FAC；從而得出∠EBF+∠CAG=180°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，中垂線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，四點(diǎn)共圓的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．