Question

矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以AB為直徑的半圓切CD于E，P為CD上的動點（不與C，D重合），連接AP交半圓于F，連接BP，BF，如圖1．
（1）當

AF

=2

BF

時，圖1中有幾對全等的三角形？將其表示出來；
（2）P點在CD上移動，還有能構成全等三角形的情況嗎？若有，請說出還有幾次，并在圖2中用尺規(guī)作出每次構成全等三角形時的圖形（不寫作法，保留作圖痕跡）；若沒有，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知首先得出∠FAB=30°，BF=

1

2

AB=2，進而利用全等三角形的判定，得出△ABF≌△PAD，以及Rt△BPF≌Rt△BPC，
（2）根據(jù)①當AB=PB時，△AFB≌△PFB，以及②當AP=PB時，△ADP≌△BCP得出答案．

解答：解：（1）當

AF

=2

BF

時，圖中有兩對全等的三角形，分別是△ABF≌△PAD，△BPF≌△BPC；  
∵

AF

=2

BF

，
∴∠FAB=30°，
∵AB為直徑，
∴∠AFB=90°，
∴BF=

1

2

AB=2，
∵∠DPA=∠PAB，∠ADP=∠AFB，
AD=BF=2，
∴△ABF≌△PAD，
∵BC=BF=2，∠C=∠BFP，PB=PB，
∴Rt△BPF≌Rt△BPC．

（2）還有兩次能構成全等三角形的情況．
每次構成全等三角形時的圖形如圖．
①當AB=PB時，△AFB≌△PFB，
②當AP=PB時，△ADP≌△BCP．

點評：此題主要考查了切線的性質以及矩形的性質和全等三角形的判定等知識，根據(jù)已知熟練地應用全等三角形的判定定理是解決問題的關鍵．