Question

某校開展的一次動漫設計大賽，楊帆同學運用了數(shù)學知識進行了富有創(chuàng)意的圖案設計，如圖（1），他在邊長為1的正方形ABCD內作等邊△BCE，并與正方形的對角線交于點F、G，制作如圖（2）的圖標，請我計算一下圖案中陰影圖形的面積．

Answer 1

分析：首先過點G作GN⊥CD于N，過點F作FM⊥AB于M，由在邊長為1的正方形ABCD內作等邊△BCE，即可求得△BEC與正方形ABCD的面積，由直角三角形的性質，即可求得GN的長，即可求得△CDG的面積，同理即可求得△ABF的面積，又由S_陰影=S_{正方形ABCD}-S_△ABF-S_△BCE-S_△CDG，即可求得陰影圖形的面積．

解答：解：過點G作GN⊥CD于N，過點F作FM⊥AB于M，
∵在邊長為1的正方形ABCD內作等邊△BCE，
∴AB=BC=CD=AD=BE=EC=1，∠ECB=60°，∠ODC=45°，
∴S_△BEC=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，S_正方形=AB²=1，
設GN=x，
∵∠NDG=∠NGD=45°，∠NCG=30°，
∴DN=NG=x，CN=

3

NG=

3

x，
∴x+

3

x=1，
解得：x=

3 -1

2

，
∴S_△CGD=

1

2

CD•GN=

1

2

×1×

3 -1

2

=

3 -1

4

，
同理：S_△ABF=

3 -1

4

，
∴S_陰影=S_{正方形ABCD}-S_△ABF-S_△BCE-S_△CDG=1-

3 -1

4

-

3

4

-

3 -1

4

=

6-3 3

4

．

點評：此題考查了正方形，等邊三角形，以及直角三角形的性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意方程思想與數(shù)形結合思想的應用．