Question

如圖③，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于點(diǎn)A(-3，0)，點(diǎn)B(1.0)，交y軸于點(diǎn)E(0，-3). 點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F且與y軸平行.直線y=-x+m過點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D.    
 (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；  
  (2)點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)K作x軸的垂線與直線CD交于點(diǎn)H，與拋物線交于點(diǎn)G，求線段HG長度的最大值；   
 (3)在直線l上取點(diǎn)M，在拋物線上取點(diǎn)N，便以點(diǎn)A,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=a（x-1）(x+3)，   
 ∵拋物線與y軸交于點(diǎn)E(0,-3),將該點(diǎn)坐標(biāo)代人上式，得：a=1，
∴所求函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=(x-1)(x+3)，即 y=x²+ 2x- 3;
(2)∵點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)A(-3，0)，點(diǎn)B(1，0)，    
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是C(5，0).   將點(diǎn)C的坐標(biāo)是C(5，0)代入y=-x+m，得m=5   
 ∴直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=-x十5，
設(shè)K點(diǎn)的坐標(biāo)為( t, 0),則H點(diǎn)的坐標(biāo)為.(t，-t+5)，G點(diǎn)的坐標(biāo)為 (t，t²+2t-3).     
∵點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn).
∴-3≤t≤1
∴HG= (-t+ 5)-(t²+ 2t-3)=-t²-3t+8=-（t+）²+
∵-3≤-≤1，∴當(dāng)t=-時(shí)，線段HG長度有最大值
(3)∵點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)B(1，0)，點(diǎn)C(5，0)，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(3，0).
∵直線l過點(diǎn)F且與y軸平行，
∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為x=3
∵點(diǎn)M在直線l上，點(diǎn)N在拋物線上，
∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(3，m). 點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(n,n²+2n-3)
∵點(diǎn)A（-3,0），點(diǎn)C（5,0），
∴AC=8；
 ①若線段AC是以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形的邊，
則須MN//AC，且MN=AC=8
當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，MN=3-n，
∴3-n=8，解得：n=-5，
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為N(-5，12).
當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，MN=n-3
∴n-3=8，解得：n= 11，
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為，N(11，140).
②若線段AC是以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的平行四邊形的對(duì)角線，
由“點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱”知：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱，
取點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(-1，0). 過點(diǎn)P作NP⊥x釉，交拋物線于點(diǎn)N
將 x=-1代入y=x²+2x-3，得：y=-4，
過點(diǎn)N，B作直線NB交直線l于點(diǎn)M
在△BPN和△BFM中
∵
∴△BPN≌△BFM，
∴NB = MB，   
 ∴四邊形ANCM為平行四邊形，
∴坐標(biāo)為(-1，-4)的點(diǎn)N符合條件，
∴當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-5，12)，(11，140)，(1，4)時(shí)，以點(diǎn) A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊是平行四邊形。